[MÚSICA] [MÚSICA] Bem-vindos novamente ao curso de álgebra básica. o meu nome é Emma Lam, sou professora da faculdade de ciências da UNAM e estarei convosco para desenvolver as aulas correspondentes ao tema dos casos notáveis da multiplicação e fatorização. Vamos começar por resolver este problema. Tenho um quadrado com lado a, se aumento uma unidade em cada lado, obtenho um quadrado cuja área é a área do anterior, mais 25 centímetros quadrados. Qual a medida do lado do quadrado original? Vamos resolver. A área do quadrado original é a ao quadrado porque sabemos que a fórmula da área de um quadrado é lado vezes lado. Se agora considerar a área do quadrado que obtenho por aumentar uma unidade a cada lado, obtenho a + 1 elevado ao quadrado. Mas segundo as condições do problema obtemos que a + 1 ao quadrado é igual a a quadrado + 25. Então, o que vamos fazer é calcular a + 1 elevado ao quadrado somando as áreas da figura que aparece na tela. Observa que o quadrado maior tem lado a + 1 e este foi dividido em quatro partes, duas delas são quadrados, um mede de lado a e outro mede 1 em cada lado, falo do quadrado pequeno que está acima à direita. E logo tenho dois retângulos, e ambos têm lados 1 e a. Se quero encontrar a + 1 ao quadrado, a + 1 elevado ao quadrado é precisamente a soma das áreas destes quatro bocados. Então, a + 1 ao quadrado será igual a a quadrado + 1 vezes a, + vezes a, + 1 vezes 1. A primeira soma é a área do quadrado grande, 1 vezes a que aparece 2 vezes, é a área dos dois retângulos de lados 1 e a, e 1 vezes 1 é a área do quadrado pequeno, e isso é igual a a quadrado + 2a + 1. Se substituirmos o resultado na equação que tínhamos então vemos que a ao quadrado + 2a +1 será igual a a ao quadrado + 25. E agora vejo que posso simplificar a ao quadrado que aparece em ambos os lados da igualdade obtendo 2a + 1 igual a 25. Se agora resolvermos esta equação, obtemos que a é igual a 12. Vê que é uma equação linear do primeiro grau e a única coisa que temos de fazer é resolver, então o lado do quadrado original é 12, e é o que fazemos em geral. Vamos considerar um binómio cujos termos são a e b. e queremos calcular a + a elevado ao quadrado. Vamos efetuar a multiplicação conforme aprendemos anteriormente, ou seja, vamos multiplicar a + b por a + b. E agora o que temos de fazer é recordar como se faz a multiplicação de dois binómios, isto é igual a a + b vezes a + b vezes a + b, e desenvolvendo obtemos a ao quadrado + ba + ab + b ao quadrado. E como a vezes b é o mesmo que b vezes a, temos que isto é igual a a ao quadrado + 2 vezes a por b + b ao quadrado. Então temos a fórmula geral para o quadrado de um binómio, a + b elevado ao quadrado é igual a a ao quadrado + 2ab + b ao quadrado. Se vemos este resultado, não parece estranho dizer que o quadrado de um binómio é igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Este produto e muitos outros aparecem várias vezes e são conhecidos como casos notáveis. Vamos ver agora como aplicar esta fórmula em alguns exemplos. Aqui está o primeiro: desenvolve y + 6 elevado ao quadrado. Escrevemos y + 6 ao quadrado e usamos a nossa fórmula que diz, o quadrado do primeiro + o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo, e isto é igual a y ao quadrado + 12y + 36. Aqui temos outro exemplo, agora vamos desenvolver 5c à sexta d ao cubo + 4a ao quadrado b tudo ao quadrado. Escrevemos 5c à sexta d ao cubo + 4a ao quadrado b e queremos elevar este binómio ao quadrado. Lembramos a nossa fórmula que diz o quadrado do primeiro, ou seja, 5 c à sexta d cúbica elevado ao quadrado.+ o dobro do produto do primeiro que é 5c à sexta d ao cubo pelo segundo que é 4a ao quadrado b + o quadrado do segundo. isto é, 4a ao quadrado b tudo isto elevado ao quadrado. E agora o que temos de fazer é simplificar e aqui precisamos de recordar a regra dos expoentes para potências de potências e a regra dos expoentes para potências de produtos, então o resultado Será 25c elevado a 12 d à sexta + 2 vezes 4, 8 vezes 5, 40 a ao quadrado b c à sexta d ao cubo + 16 à quarta b ao quadrado. A fórmula que acabámos de ver também pode ser usada para calcular os quadrados de alguns números de forma simples, vamos ver como. Queremos calcular o quadrado de 31, vamos fazê-lo. Observa que 31 pode ser escrito como 30 + 1. Então escrevemos 31 ao quadrado como 30 + 1 elevado ao quadrado. E utilizamos a nossa fórmula para o quadrado de um binómio, e temos o quadrado do primeiro + o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo, então temos 30 ao quadrado + 2 vezes 30 vezes 1 + 1 ao quadrado. E agora observa que os números que escolhemos permitem que encontremos facilmente os seus quadrados. 30 ao quadrado é 900, depois 2 vezes 30 é 60 e a seguir tenho + 1. Então o quadrado de 31 é 961. Vamos supor agora que queremos calcular o quadrado da diferença de a menos b. Escrevemos o binómio como uma soma, ou seja, como a + menos b e elevamos ao quadrado. E aplicamos a fórmula do binómio, vamos experimentar, a ao quadrado + 2 vezes a vezes menos b + menos b elevado ao quadrado. E simplificamos para obter finalmente a ao quadrado menos 2Ab + b ao quadrado. Agora vemos que podemos dizer que o quadrado de uma diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo. Este e outro dos casos notáveis mais comuns. Vamos agora ver alguns exemplos. o primeiro é desenvolver 49 ao quadrado. Como no caso em que calculamos o quadrado de 31, agora, para calcular o quadrado de 49, o que fazemos fazer é escolher números tais que o seu quadrado seja fácil de calcular, neste caso escrevemos 49 como como 50 menos 1, então 49 ao quadrado é igual a 50 menos 1 elevado ao quadrado, vê que é um binómio. E o que queremos obter é o quadrado de uma diferença. Utilizando a fórmula que acabámos de utilizar, isto será 50 ao quadrado menos 2 vezes 50 vezes 1 + 1. E o quadrado de 50 é fácil de calcular, é 2500, depois temos menos 100 que é 2 vezes 50 e mais um. E fazemos facilmente as operações e obtemos 2401. Então o quadrado de 49 é 2401. Vamos ver agora outro exemplo. Neste queremos desenvolver 8 menos 7x ao quadrado. Repara que não importa quais são as expressões que aparecem no binómio, a única coisa que temos de fazer é aplicar a fórmula. Escrevemos a expressão 8 menos 7x elevado ao quadrado. E aplicamos a fórmula, que deve ser o quadrado do primeiro menos 2 vezes o primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo. E agora simplificamos, isto é 64 menos 112x + 49x ao quadrado. Aqui temos mais um exemplo. Agora temos de desenvolver 6a menos 5b ao quadrado, vamos desenvolver. Temos 6a menos 5b elevado ao quadrado, lembra-te que a fórmula diz, o quadrado do primeiro menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo. Então temos 6a elevado ao quadrado menos 2 vezes 6a por 5b + 5b elevado ao quadrado. Isto será 36a ao quadrado menos 60 ab + 25b ao quadrado. E aqui temos mais um exemplo. Este diz: 4 s ao cubo t à quarta menos 9 ab à sétima, tudo ao quadrado, que é exatamente a mesma situação que a anterior, não é mais difícil, só que agora os termos do binómio têm 2 variáveis. Vamos desenvolver, isto é igual a 4s ao cubo t à quarta ao quadrado menos 2 que multiplica a 4s ao cubo t à quarta por 9ab à sétima + 9 ab à sétima ao quadrado. Isto é igual a 16s à sexta t à oitava menos 72 ab à sétima s ao cubo t à quarta + 81 a ao quadrado vezes b elevado a 14. [MÚSICA] [MÚSICA]
