[MÚSICA] [MÚSICA] Agora que já sabemos calcular quadrados de somas e quadrados de diferenças, vamos resolver alguns problemas. O primeiro diz que os dados de um triângulo retângulo satisfazem as seguintes condições: a hipotenusa é 16 unidades maior que o cateto menor e o cateto maior é 2 unidades menor que a hipotenusa, e que o quadrado da hipotenusa menos o quadrado do cateto maior é igual à diferença do quadrado do cateto maior menos o quadrado do cateto menor menos 376. Quanto medem os lados do triângulo? Vamos resolver. A primeira coisa que temos de fazer é escrever em linguagem algébrica, vamos dar nome ao cateto maior, ao cateto menor e à hipotenusa. Vamos chamar n ao cateto menor. [SEM ÁUDIO] Chamemos c ao cateto maior e vamos chamar h à hipotenusa. Agora vamos ver, com as condições do problema, o que podemos obter. A primeira diz que a hipotenusa é 16 unidades maior que o cateto menor, ou seja, o cateto menor + 16 é o valor da hipotenusa. Para o cateto maior diz que o cateto maior é 2 unidades menor que a hipotenusa, ou seja, c + 2 é igual a h. Mas como sabemos que a hipotenusa é n + 16, então, temos que c + 2 é igual a n + 16. Isto é, c é igual a n + 14. De tal forma que já temos os lados do triângulo retângulo nos termos do cateto menor, n é o cateto menor, a hipotenusa é n + 16 e o cateto maior é n + 14. Agora vamos escrever a outra condição que aparece no problema, que diz que a hipotenusa é n + 16 ao quadrado menos o quadrado do cateto maior, isto é, menos n + 14 elevado ao quadrado é igual ao quadrado do cateto maior que é igual a n + 14, ou seja, n + 14 ao quadrado menos o quadrado do cateto menor menos 376. Vemos que esta é uma equação em que n é a única variável e o que aparece na equação são binómios quadrados, De tal forma que o que temos de fazer é desenvolver e resolver. Vamos desenvolver primeiro. Do lado esquerdo temos n ao quadrado + 2 vezes 16n + 16 ao quadrado menos, entre parêntesis n + 14 ao quadrado que é n ao quadrado + 2 vezes 14 vezes n + 14 ao quadrado e vamos vendo o que fica do lado direito. No lado direito fica n ao quadrado + 2 vezes 14 n + 14 ao quadrado menos n ao quadrado menos 376. Agora vamos simplificar. Primeiro observamos que do lado esquerdo da igualdade aparece n ao quadrado que vou cancelar com o n ao quadrado que está dentro do parêntesis porque esse n ao quadrado é afetado por um sinal de menos, ou seja, tenho n ao quadrado menos n ao quadrado do lado esquerdo e o mesmo acontece no lado direito, portanto vamos cancelar. E agora, vamos efetuar as multiplicações que aparecem aqui, tenho 2 vezes 16 que é 32 e fico com 32 n + 256 que é o quadrado de 16 menos e agora coloco entre parêntesis 2 vezes 14 que é 28n + 196. Isto é igual a 2 vezes 14 que é 28, vezes n + 196 que é o quadrado de 14, e menos 376. Agora vamos simplificar, tenho do lado esquerdo 32n menos 28n que é 4n e 256 menos 196 que é 60. Isto é igual a 28n menos 180 que é o resultado de efetuar 196 menos 376. E agora sim, já temos uma equação linear do primeiro grau, e o que vamos fazer é resolver n, passando o que tenha n para um só lado e para o outro, apenas números. Então temos 28n menos 4n 24n do lado direito e no lado esquerdo teremos 60 + 180 que é 240. Onde n é igual a 10. Então o cateto maior que é n + 14 será igual a 24 e a hipotenusa que é n + 16 será 26. Estas são as dimensões do triângulo retângulo que se obtém com as condições do nosso problema. Agora vamos ver outro problema. Este problema diz que 3 números ímpares consecutivos satisfazem que a diferença do quadrado do terceiro menos o quadrado do segundo é igual à diferença do quadrado do terceiro menos o quadrado do primeiro menos 120. Encontra os números. Vamos ver novamente como resolver, temos 3 valores que desconhecemos, que são os 3 números ímpares de que nos falam e a única coisa que sabemos é que são consecutivos. Então, o que vamos fazer é escrever os 3 números em termos de uma só variável. Para isso, a primeira coisa que temos de notar é que os números ímpares são especiais, pensa nos inteiros ímpares positivos. Tenho 1, 3, 5, 7, etc. E agora o que vamos fazer é ver que forma têm. Observa que 1 pode ser escrito como 2 vezes 0 + 1, o 3 pode ser escrito como 2 vezes 1 + 1, o 5 pode ser escrito como 2 vezes 2 + 1, o 7 como 2 vezes 3 + 1 e assim sucessivamente. Então, qualquer número inteiro ímpar pode escrever-se como 2 vezes um número inteiro + 1. O que fiz para os números inteiros positivos também funciona para os negativos, seria bom se o comprovasses. Agora sim, vamos continuar com o nosso problema. Porque o que sabemos é que os números que precisamos de encontrar são inteiros ímpares, mas também consecutivos, de forma que se chamo ao primeiro 2n+ 1, o seguinte que é o seu consecutivo, será 2n + 3 e o seguinte será 2n + 5. Desta forma já temos os nossos 3 números ímpares consecutivos. Se reparares, estão todos em termos de n. Agora vamos às condições do problema. As condições dizem que, o quadrado do terceiro, que é 2n + 5 ao quadrado menos o quadrado do segundo, é dizer que menos 2n + 3 elevado ao quadrado é igual ao quadrado do terceiro menos o quadrado do primeiro que é 2n + 1 então menos 2n + 1 ao quadrado menos 120. Já escrevemos o enunciado do problema em linguagem algébrica, está tudo em termos de n e agora o que temos são quadrados de somas que já sabemos desenvolver. Poderíamos desenvolvê-lo todo, contudo, se observarmos o que temos podemos fazê-lo de forma mais fácil porque no lado esquerdo da igualdade e no lado direito, aparece a expressão 2n + 5 elevado ao quadrado, então o mais fácil é calcular primeiro essa soma e depois proceder à simplificação, e de seguida à solução. Então temos menos 4n ao quadrado + 2 vezes 2n vezes 3 + 9 igual a menos 4N ao quadrado + 2 vezes 2n vezes 1 + 1 menos 120. Agora temos de simplificar e resolver. Mais uma vez, podemos observar que no lado esquerdo temos um menos 4n ao quadrado porque temos 4n ao quadrado afetado por um sinal de menos, e o mesmo aparece do lado direito, de tal forma que podemos simplificar esta soma e obtemos menos 12n menos 9 do lado esquerdo e do lado direito menos 4n menos 1 menos 120. E agora temos uma equação linear do primeiro grau, e novamente, o que fazemos é passar os n para um só lado e os números para outro, e então, tendo passado os n para o lado direito, teremos 12n menos 4n que é 8n e do lado esquerdo vamos ter 120 + 1 menos 9, de tal forma que teremos 112 igual a 8n e fazendo a divisão temos que n é igual a 14. Agora observamos que os números que tínhamos estavam em termos de n, o primeiro é 2n + 1, ou seja, 2 vezes 14 + 1 que é 29 O segundo era 2n + 3 que é 31, e o último era 2n + 5 que é 33. Então já temos os 3 números que queríamos encontrar. [MÚSICA] [MÚSICA]
