[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Vamos continuar a aula sobre diferenças de quadrados e outros casos notáveis resolvendo agora alguns problemas. O primeiro diz que 3 círculos concêntricos têm raio r menos 8, r e r + 8. Se r menos 8 vezes r + oito é igual a 36, encontra os raios. Vamos resolver. Então temos 3 círculos concêntricos com raios r menos 8, r e r + 8, respetivamente, e sabemos que satisfazem a equação r menos 8 vezes r + 8 igual a 36. Se resolvermos esta equação, o que vamos obter é o valor de r. Ou seja, de um dos círculos e com os dados que temos, iremos obter os outros 2. Para encontrar o resultado, a única coisa que temos de fazer é calcular o produto da esquerda, mas repara que se trata de uma diferença de quadrados. Então, temos r ao quadrado menos 8 ao quadrado, que será igual a 36. De tal forma que r ao quadrado menos 64 é igual a 36. Resolvendo, temos que r ao quadrado é igual a 100. E há dois números cujo quadrado é igual a 100. e são r igual a menos 10 e r igual a 10. Por suposto, r é igual a menos 10, e devemos descartá-lo porque sabemos que r é o raio de um dos círculos. Então ficaremos apenas com r igual a 10, e então r mais oito é igual a 10 menos 8 que é igual a 2, e r + 8 é igual a 10 + 8 que é igual a 18. Então os raios dos círculos são 2, 10 e 18. Vamos ver outro problema, que diz, um número satisfaz as seguintes condições, o produto da soma do número + 6 vezes a diferença do número menos 1 é igual ao produto da soma do número + 23, vezes a diferença do número menos 6. Encontra o número. Vamos resolver. Como sempre, nos problemas, a primeira coisa a fazer é escrever os dados do problema em linguagem algébrica Então, neste caso o que desconheço é o número que satisfaz as condições, e vamos chamar n a esse número. Então tenho n + 6 vezes n menos 1, porque o enunciado do problema diz que o produto da soma do número + 6 vezes a diferença do número menos 1, que é o que tenho escrito, é igual ao produto da soma do número + 23 pela diferença do número menos 6. Essas são todas as condições. Por isso, o que tenho de fazer é desenvolver os produtos que são precisamente os casos notáveis que acabámos de estudar. Vamos então desenvolver e depois resolvemos para encontrar o valor de n. Então temos n ao quadrado + n que se multiplica por 6 menos 1 + 6 vezes menos 1, isto é o lado esquerdo, igual a n ao quadrado + n que se multiplica por 23 menos 6 + 23 vezes menos 6, E agora vamos simplificar. Como sempre, primeiro observamos o que temos, e vemos que podemos cancelar n ao quadrado que está nos dois membros da igualdade. E agora sim, vamos simplificar. Então temos 5n menos 6 igual a 17n menos 138. Resolvendo, temos 12n igual a 138 menos 6, de tal forma que n é igual a 132 a dividir por 12. Se fizermos a operação, o que temos é n igual a 11. Ou seja, 11 é o número que procuramos. Três números pares consecutivos satisfazem as seguintes condições. A diferença do quadrado do terceiro menos o quadrado do segundo é igual ao quadrado do segundo menos o quadrado do primeiro + a metade do primeiro. Encontra os números. A primeira coisa que temos de fazer é pensar que vamos procurar 3 números pares consecutivos. Como sempre, devemos escrever os 3 nos termos de uma só variável. Para isso temos de ver que os números pares têm uma forma especial. Pensa nos números pares. Os positivos, por exemplo. Então tenho 2, 4, 6, 8, 10, etc, e o que vamos fazer é ver que forma têm. O 2 pode ser escrito como 2 vezes 1, o 4 pode ser escrito como 2 vezes 2, o 6 pode ser escrito como 2 vezes 3 e assim sucessivamente, o 10 escreve-se como 2 vezes 5. Então observamos que todos estes números têm uma forma peculiar, que é 2 vezes um número inteiro. Observa que também os números negativos pares têm esta forma. E então podemos escrever 3 números consecutivos da seguinte maneira. Temos 2n, 2n + 2 e 2n + 4. Estes são os números que procuramos. Claro que desconhecemos o valor de n. Agora vamos ver como se escrevem as condições do problema. Diz o seguinte: A diferença do quadrado do terceiro menos o quadrado do segundo é, 2N + 4 ao quadrado menos 2n + 2 ao quadrado, é igual a 2n + 2 ao quadrado menos 2n elevado ao quadrado + n. Vamos ver o lado direito da igualdade. Isto deve ser o quadrado do segundo menos o quadrado do primeiro + a metade do primeiro. E agora temos uma equação em que a única coisa que temos é a variável n. E vamos resolvê-la. Do lado esquerdo o que temos é 4n ao quadrado + 16n + 16. Repara que é o quadrado de um binómio, menos 4n ao quadrado + 8n + 4, isto é o quadrado do binómio e o sinal de menos está a afetar o quadrado. E isto é igual a 4n ao quadrado + 8n + 4 menos 4n ao quadrado + n que é o que tínhamos do lado direito. E agora simplificamos. Observa que do lado esquerdo temos 4n ao quadrado menos 4n ao quadrado e do lado direito também. Então simplificamos. E o que obtemos é 16n + 16 menos 8n menos 4. Isto é igual a 8n + 4 + n. Agora simplificamos para obter 8n + 12 igual a 9n + 4. De tal forma que temos n igual a 8. Contudo, não temos os números. Os números eram 2n, 2n + 2 e 2n + 4. 2n é igual a 16 e os números que me faltam são os pares consecutivos, ou seja, os números são 16, 18 e 20. [MÚSICA] [MÚSICA]