En ésta ocasión me gustaría que volviéramos a usar nuestro software de SimCalc y utilizáremos un software extra con el cual podré puntualizar algunas cuestiones que you están muy en apego a lo que es el cálculo. Me gustaría que me acompañaran entonces, se acuerdan de este personaje, nuestro chico Tec que anda aquí caminando, si ustedes bien recuerdan ésta animación, o sea, es una simulación del movimiento en línea recta donde, ahorita, tenemos el caso de una velocidad constante. En esta ocasión lo que me gustaría a mi hacer con el software algo un poquito diferente. Yo quisiera ocultarles, digamos, el mundo, el mundo de Ryan. Quisiera quitarlo de aquí, vamos a ver si nos deja, ahí está, you se fue. Y entonces lo que tenemos aquí, es solamente una versión, digamos, de lo que estaba pasando allá escondidamente, acá pasa escondidamente, con nuestro personaje. Entonces estamos viendo dos gráficos que están simultáneamente animados, en este gráfico tengo la velocidad y en este gráfico tengo la posición. Les he hecho algunas observaciones al respecto, por ejemplo, cuando yo muevo este gráfico de la velocidad, véanme que aquí mi cursos lo voy a poner justo en este lugar, que me va a permitir mover esta recta horizontal que me está diciendo un valor constante de la velocidad. Si yo pongo la velocidad un poquito más abajo, observen ustedes el gráfico de la posición como su inclinación se pegó más al eje horizontal, eso querría decir que el movimiento es más lento, no voy a sacar ahorita el personaje. Solamente quiero que ustedes se centren, en la relación que existe entre este movimiento que hago sobre la velocidad, y la correspondencia con lo que ocurre con la posición, con el gráfico de posición. Pensemos entonces aquí en la velocidad, grande. Pensemos acá en la posición que tiene una inclinación mayor, una razón de cambio mayor, pasemos al contexto de la razón de cambio, esta es la razón de cambio. Esta es, digamos, nuestra magnitud que estamos estudiando. No necesariamente la posición del objeto que se mueve en línea recta, puede ser el nivel del tanque, puede ser la temperatura, cuando se sube la montaña, puede ser la temperatura en una tasa de café que se mete al micro, que se yo. Esto de aquí representa distintas magnitudes, y esto de acá representa la razón de cambio de la magnitud. Si la magnitud tiene ésta razón de cambio, el comportamiento lo estamos viendo acá. Si la magnitud tiene una razón de cambio negativo, el comportamiento de la magnitud es decrecimiento como lo estamos viendo por acá. Entonces, ustedes vean como la correspondencia es, yo subo, bajo, varío los valores de la razón de cambio constante y lo que ocurre es que en la magnitud, tenemos diferentes inclinaciones. Inclinaciones que nos van a decir que la magnitud está aumentando rápido, o a lo mejor, no tan rápido. O no tan rápido, a lo mejor muy rápido, más rápido, etcétera. A lo mejor la magnitud está decreciendo, ¿de acuerdo? A lo mejor decrece muy rápido, lo que significaría que fuera capaz de bajar esto, vamos a hacerlo acá, así decrece muy rápido, la tendríamos acá como hemos visto. Vean la inclinación ahora de las rectas, si fuese más rápido todavía, ¿no? Esto que está aquí me invita a decir que con la relación que existe entre la razón de cambio de la magnitud y la magnitud, puedo observarla cuando observo la inclinación de esta recta. Por otro lado, para esta misma inclinación de la recta, vean ustedes lo que ocurre si tomo este punto. Cuando hago esta variación, ahora estoy en el eje, perdón en la gráfica de la posición, o sea, en la gráfica de la magnitud. El movimiento, que yo estoy haciendo ahorita, es un movimiento que está provocando que si yo sacara un personaje, estaría cambiando su posición inicial, ¿cierto? Vean ustedes, como aún y cuando, bueno me moví un poquito hacia la derecha, aún y cuando yo cambie la posición inicial, la velocidad no se está afectando. O sea, para esta misma velocidad, para está misma razón de cambio tengo una infinidad de posiciones iniciales que pudiera yo considerar y las gráficas correspondientes siempre serían gráficas, digamos, paralelas entre sí. Esto que estamos viendo, esta relación, me gustaría ahora verla en otro software, este software se llama Graphmatica, también es un software libre, lo pueden encontrar en la red, encontrarán nuestras indicaciones en el apartado de nuestro curso especial para ello, y ahorita, lo que haría yo es mostrarles esto que está pasando de la relación cuando usamos este software. En este software vamos a tener que teclear las cosas como el software lo entiende, o sea, con y, y con x. Entonces, yo podría decirle aquí y igual a x, y en ese momento lo que obtengo es mi gráfica, que sería esta línea recta de una inclinación de cuarenta y cinco grados, con una razón de cambio de uno, con una pendiente de uno. En este momento el software que les presento, me sirve porque me va a permitir calcular la que se conoce como la derivada de la función. Hay un botón aquí que lo señala, encuentra la derivada, lo pueden encontrar en el menú de cálculos, diciendo "Find derivative" encontrando derivada. Entonces, tenemos esas dos opciones, y ahorita que lo voy a accionar, van a a ver lo que nos va a suceder. Nos quedó aquí una recta horizontal, en color rojo porque he preparado el archivo para que mantengamos así esa relación entre la gráfica de la magnitud en azul y la gráfica de la derivada, en términos de cálculo, en color rojo. ¿Esa derivada para nosotros quien es? Para nosotros es la razón de cambio, es ésta que veíamos acá, es lo que está en este sistema coordenado en relación con este otro sistema coordenado. ¿Qué es lo que hace Graphmatica? Graphmatica ahorita me está permitiendo mostrarles esta imagen y decirle a Graphmatica que encuentre la derivada, o sea, la razón de cambio y Graphmatica nos da está imagen pero nos la da encima, integra las dos imágenes de tal manera que nuestra visión es de la magnitud y su correspondiente razón de cambio. ¿Por qué derivada? Se preguntarán ustedes ahorita qué es la derivada en sí. Eso es algo que yo dejaría para un curso de cálculo que profundice en esa parte teórica. A mí me gustaría, con ustedes en este curso, retomar otro significado de una palabra, la palabra derivada o derivar. Si nos vamos a la Real Academia Española, yo encontraba aquí el término derivar. Y podríamos leer, dice por ejemplo, dicho de una cosa traer su origen de otra. Traer su origen de otra, eso es derivar. Dice en gramática, dicho de una palabra, proceder de cierta raíz o de alguna otra palabra. O sea, proviene de otra palabra, ¿no? Yo creo que la, bueno en matemáticas dice obtener la derivada de una función, pues si porque acá en matemáticas la derivada you tiene su definición particular. Me gustaría quedarme con las primeras dos y dejar con ustedes ese significado de traer de otro lado. Derivar es proceder de otra parte. En ese sentido, me gustaría que viéramos que esta recta roja procede de la azul. ¿Cómo procede? Bueno, pues mediante está conexión que hemos hecho donde la representación gráfica, vamos a ponerlo aquí con una imagen para poderselos escribir, donde la representación gráfica de, déjenme tomar el lápiz, le ponemos uno negro, ¿no? La representación gráfica de la curva azul tiene una, este pendiente, tiene una razón de cambio, tiene una inclinación, que está representada con la gráfica roja. Y en términos algebraicos qué es lo que sabemos, si la gráfica azul la escribo como y igual a x, la gráfica de la roja, la escribiríamos como y, y permitanme ahorita introducir esta anotación, poner un apóstrofe dentro de la y como para decir la derivada, y esa derivada para nosotros significa la razón de cambio. Y esa razón de cambio cuanto va a ser, si ustedes recuerdan aquí en esta expresión que tenemos de y igual a x, en realidad estamos viendo a uno por x más cero. Entonces la razón de cambio es uno. Entonces aquí tenemos que la derivada es uno. Entonces, si estamos viendo por un lado a la magnitud, la magnitud que estaría en el color azul que es esta, y igual a x, que sería su gráfica esta de aquí. Y por otro lado, estamos viendo a su derivada en el color rojo, que es esta que tenemos acá. Y estamos viendo en un mismo sistema coordenado, asociados ambos gráficos relacionados. Tengo una gráfica de y igual a x, en color azul, la razón de cambio de esa gráfica es uno. Ahora a esa le vamos a llamar nuestra derivada, y entonces podríamos decir que derivando la recta azul, obtuvimos la recta roja. La cual, a todas luces, es una recta horizontal, lo que está respondiendo a que, en nuestro caso, el cambio que está obedeciendo la magnitud, es un cambio uniforme. O sea, su razón de cambio es constante. Si cerramos esto de aquí y volvemos a nuestro software, déjenme por favor ahorita mostrarles que si yo en este Graphmatica tecleo en el campo acá, que me dibuje la recta y igual a dos x. Nosotros sabemos, you hemos aprendido la inclinación va a aumentar, la razón de cambio va a ser dos, entonces esperaríamos un dibujo en ese sentido, y veamos ahorita lo que obtenemos era lo que esperábamos, ¿no? Y aparte de eso, ahorita con este graficador, podemos tener la imagen de la razón de cambio en un clic. Solamente damos un clic aquí para encontrar la derivada, y obtenemos la recta roja que ustedes vieron que apareció a la altura dos. En correspondencia con lo que esperamos, si y es igual a dos x, la razón de cambio es dos, ahora diríamos la derivada es dos. Veamos un último ejemplo, pongamos, tratemos de hacer las cosas con un punto cinco, o sea, pongamos un medio, pongamos un punto cinco en la pendiente, que esperaríamos nosotros que la recta se inclinó más hacia el eje horizontal. Vamos a verlo, la dibujamos, ahí está, la inclinación más hacia el eje horizontal, como lo esperábamos, y por otro lado si derivamos usando Graphmatica en esta ocasión, lo que obtendremos es el punto cinco que tenemos como un coeficiente en esta función, y igual a punto cinco por x. Lo hacemos, pedimos la derivada y efectivamente, ahí tenemos la representación de la derivada como una recta que está a la altura punto cinco. Yo los invito a que con este software ustedes puedan accionar, y puedan trabajar diferentes funciones lineales, para que observen lo que pasa con ellas e identifiquen más estas relaciones. Por ejemplo, me gustaría terminar cuando en esta recta de punto cinco x, le agrego, por ejemplo, un más, qué será, un tres, vamos a duplicarle, mejor a quitarle un dos, vamos a quitarle un dos, menos dos. Si ustedes recuerdan que esperaríamos que nuestra resta que tiene menos inclinación se baje, vamos a bajarla y entonces ahí la tenemos ahora, esta misma que teníamos con la inclinación punto cinco aquí está en el menos dos, es la misma recta, es como haber hecho una translación vertical hacia abajo y ¿qué pensaríamos de la derivada? La derivada, para esta gráfica, tendría que ser la misma que teníamos para la gráfica de arriba, puesto que la razón de cambio sigue siendo punto cinco, ¿no? Entonces, si ahorita le pido a Grapahmatica que me derive a ésta última gráfica que he puesto, yo esperaría que la nueva, el nuevo dibujo vaya a quedar justo encima del dibujo que tenía para la derivada de la recta y igual a punto cinco x. Vamos a accionarlo y ¿qué es lo que notaron? ¿Notaron un cambio de color en este gráfico? Ciertamente porque yo tenía en Graphmatica señalado que la séptima gráfica fuera en un color azul. Y entonces, lo que obtuvimos es una verificación de lo que estábamos viendo acá con SimCalc, ¿no? O sea, cuando yo pongo este una recta, le cambio, digamos, su posición inicial, el valor de la derivada, no se altera. El cambio de la posición inicial, no me altera el valor de la derivada. Y por otro lado, el cambio en la razón de cambio. El cambio de la derivada altera a la inclinación de la recta, no así al valor inicial. En esta forma podemos ver que algebraicamente es en el gráfico de la posición y en la expresión algebraica de la posición, el dato de la posición inicial no afecta, el valor de la razón de cambio, el valor de la razón de cambio está afectado por el otro término. De tal manera que yo puedo pensar que esta recta es que ocho punto cinco menos siete x ,y su derivada va a ser, bueno aquí tendría que no sería ocho punto cinco menos tres punto dos x, y aquí su derivada sería menos tres punto dos. Y si en lugar de ocho punto cinco le pongo cinco menos tres punto dos x, aquí la derivada sería menos tres, menos uno punto cinco, creo que es lo que dije anteriormente, espero no haberme equivocado. Bueno, a final de cuentas lo que quiero yo decirles es tengo una derivada, tengo montones aquí de funciones que corresponden con esta derivada. Tengo un cambio en la derivada y entonces para un mismo valor de la posición incial voy a tener asociados un montón de inclinaciones correspondientes al diferente comportamiento de la magnitud. Sea un crecimiento, sea un decrecimiento, sea un crecimiento rápido, o lento, decrecimiento rápido o lento. En la próxima de nuestras presentaciones tomaremos desde el punto de vista algebraico lo que hemos hecho gracias a la ayuda del software.
