[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [SOM] [SOM] Após esse vídeo, você será capaz de explicar porque não se deve ajustar o valor do ganho de controlador proporcional ou de controlador de avanço de fase, para atender a requisito de desempenho de erro regime permanente. Suponha que você acabou de projetar controlador de avanço de fase e você conseguiu atender aos requisitos de overshoot e de tempo de subida, mas ao validar seu projeto você verificou que o erro regime permanente é grande demais e gostaria de reduzi-lo a metade. A princípio uma solução muito simples seria aumentar o ganho, não? Pois é, não é tão simples assim. Vamos verificar isso com exemplo de segunda ordem do tipo 0 e controlador proporcional e exemplo de segunda ordem do tipo 1 e controlador de avanço de fase. Os resultados obtidos com esses 2 sistemas podem ser generalizados para sistemas de ordem maior. Comecemos com a função de tranferência 10 sobre s mais 2, s mais 5 e vamos projetar controlador proporcional para termos overshoot de 30%. No caso de sistemas de segunda ordem sem zeros normalmente é mais fácil calcular o ganho do controlador proporcional escrevendo diretamente o denominador da função de transferência malha fechada, que nesse caso é s ao quadrado mais 7 s mais 10 mais 10 k. Caso não lembre o denominador de T de s é o denominador de G de s mais k vezes o numerador de G de s. Nosso requisito de overshoot nos leva a csi de 0,358, vamos usar csi igual a 0,36. Temos então 2 csi ômega n igual a 7 e ômega n ao quadrado igual a 10 mais 10 k. O que nos leva a ômega n aproximadamente 9,72 e 10 k aproximadamente 84,5, ou seja k igual a 8,45. Vamos usar o Matlab para verificar se o nosso requisito foi atendido. G é igual a zpk nada, menos 2, menos 5, 10. k igual a 8.45. T é igual a feedback k vezes G,1, step T. No gráfico da resposta ao degrau clique no ponto de máximo. Caso não tenha acertado o ponto de máximo você pode clicar e arrastar o quadradinho e posicioná-lo melhor. Você verá que a amplitude é de 1,16. Note no entanto, que o valor final não é 1 e como o overshoot é definido com relação ao valor final ele não é de 16%. Clicando no gráfico próximo ao final você terá uma estimativa do valor final. Alternativamente você pode clicar e arrastar o ponto que está indicando o valor de pico. Clique na parte branca da figura e esses pontos sumirão. Agora clique com o botão direito sobre a parte branca e escolha: Characteristics, Peak Response, botão direito novamente Characteristics, Stead State. Repousando o mouse sobre as bolinhas que apareceram, você verá o overshoot e o valor final da resposta ao degrau, 29,7% e 0,894. Vamos conferir esse resultado. A função de transferência malha fechada do sistema com ganho k igual a 8,45 é 84,5 sobre s ao quadrado mais 7 s mais 94,5. Usando o teorema do valor final da Transformada de Laplace, chegamos a limite quando t tende a infinito de y de t é aproximadamente 0,8942 e assim temos o regime permamente para a entrada degrau unitário de 0,1058. Imagine agora que queremos reduzir esse erro para 0,05, pouco menos que a metade. Você deve lembrar que o erro regime permanente para uma entrada degrau unitário pode ser calculado como: erro regime é igual a 1 sobre 1 mais kp, onde kp é a constante de erro de posição e é calculada com kp é igual a k vezes G de 0, desde que G de s seja do tipo 0, o que é exatamente o nosso caso. Então para termos regime 0,05 para uma entrada degrau unitário precisamos ter kp igual a 19. Não podemos altera a G, só podemos calcular G de 0, G de 0 igual 1. Desse modo para atendermos ao requisito de regime permanente para uma entrada degrau unitário precisamos ter k igual a 19. Note no entanto, que com k igual a 19, a função de transferência malha fechada do sistema fica 190 sobre s ao quadrado mais 7 s mais 200. É fácil verificar que o valor final agora será 190 sobre 200 que é igual a 0,95, mas e o overshoot? Agora ômega n quadrado é igual a 200, ou seja ômega n é igual a 10 raiz de 2 e o csi será 0,248. Assim o overshoot será de 44,7%. Para simular resposta ao degrau com k igual a 19 use T1 igual a feedback 19 vezes G,1 step T1 e se você quiser comparar as duas resposta use step T, T1. O erro realmente diminui, mas à custa de overshoot bem maior. Ou seja ao alterarmos o valor do ganho para atender a requisito de regime, alteramos a função de transferência malha fechada e consequentemente os pólos malha fechada. Vamos ver outro exemplo, a função de transferência malha aberta agora é 1 sobre s, s mais 2 e vamos projetar controlador proporcional para termos overshoot de 10% e tempo de subida de 0 a 100% do valor final de 1 segundo. Overshoot de 10% nos leva a csi de 0,591 Vamos usar csi igual a 0,59 e o tempo de subida de 1 segundo nos leva a ômega d aproximadamente 2,2 e sigma aproximadamente 1,6. Então temos o nosso quadradinho d menos 1,6 mais 2,2 j. Para esse exemplo vamos posicionar o 0 na parte real do polo desejado, ou seja o nosso C de s será k s mais 1,6 sobre s mais b. Calculando a fase de G de quadradinho d chegamos a menos 205,7 graus. Então a contribuição fase do polo deve ser de 64,3 graus, uma vez que o 0 contribui com mais 90 graus e precisamos de avanço de fase de 25,7 graus. Com isso chegamos a b igual a 6,2, calculando o ganho chegamos a k igual a 6,75. Você pode fazer os cálculos detalhados como exercício e o controlador de avanço de fase será 6,75 s mais 1,6 sobre s mais 2,66. A função de transferência do sistema malha fechada será: 6,75 vezes s mais 1,6 sobre s mais 1,46 vezes s ao quadrado mais 3,2 s mais 7,4 e teremos par de polos complexos conjugados menos 1,6 mais ou menos 2,2 j conforme desejado. Vamos calcular o erro regime permanente para uma entrada rampa unitária. Como o sistema é do tipo 1 o erro para a entrada degrau será nulo. A constante de erro de velocidade kv será aproximadamente 2 e o erro regime permanente para uma entrada rampa será 0,5. Digamos que queremos melhorar o erro regime por fator de 10, ou seja, queremos erro regime permanente para uma entrada rampa unitária de 0,05. Podemos multiplicar o ganho do controlador proporcional por 10, assim teremos uma constante de erro de velocidade ligeiramente maior do que 20. Mas e os polos malha fechada? Com ganho de 6,75 eles estavam nas posições desejadas e tínhamos terceiro polo menos 1,46, cujo efeito, era parcialmente compensado pelo 0 menos 1,6. Com ganho de 67,5 no lugar de 6,75, a função de transferência malha fechada fica 67,5 s mais 1,6 sobre s mais 1,59 vezes s ao quadrado mais 3,07 mais 67,94. Agora os pólos estão menos 1,54 e mais ou menos 8,1 j, o que corresponde a csi de 0,186 e o que nos daria overshoot de 55%. Vamos verificar esses resultados com o Simulink. New, Simulink module, Controlita mf. O 0 pole já é a nossa função de transferência malha aberta, que coincidência não? Edite o ganho k para 1 e depois mudaremos ele para 10. Copie e cole o 0 pole e mude a cópia para menos 1.6, menos 2.66 e 6.75. Abra espaço entre o ganho e o zero pole original e insira novo zero pole que é o controlador. Altere a transfer function para 7.4 e 1, 3.2, 7.4 que é a função de transferência de segunda ordem com o csi e ômega n desejado. Rode a simulação e você verá que a resposta do sistema é pouco mais amortecida e pouco mais lenta que a o sistema de segunda ordem. Isso por causa do polo e zero adicionais. Altere o ganho para 10 e simule o modelo novamente. Note que o sistema vem mais rápido e que o overshoot aumentou consideravelmente. Vamos aproveitar e conferir o regime para a entrada rampa. Apague o degrau, View, Library Browser. Sources arranjaste bloco ramp para o lugar do degrau, sinks arraste outro scope para o modelo. Botão direito na saída do somador e arraste e solte na entrada o novo scope. Rode a simulação novamente, pode fechar o scope com as saídas, estamos interessados no erro que aparece no outro scope. Duplo clique no novo scope e note que o erro converge para 0,05 conforme o previsto. Volte o ganho de 10 para 1 e rode a simulação de novo. Note que o erro agora vai para quase 0,5 como tínhamos previsto. Agora você já é capaz de explicar porque não se deve ajustar o valor do ganho de controladar proporcional ou de controlador de avanço de fase para atender a requisito de erro regime permanente. No próximo vídeo você verá como aumentar a constante de erro de sistema, sem alterar os seus polos malha fechada.
