En el primer vídeo hemos introducido el concepto de función primitiva o antiderivada, que nos ha permitido introducir el concepto de integral indefinida. En este segundo vídeo, vamos a profundizar en este concepto y vamos a estudiar algunas de las propiedades simples de la integral indefinida que nos permitirán calcular primitivas de un gran número de funciones. Igual que pasaba con las derivadas, el cálculo de antiderivadas de algunas funciones, es especialmente sencillo y no necesita cálculos adicionales. Estas integrales reciben el nombre de integrales inmediatas, y también serán objeto de estudio en este vídeo. Vamos pues a empezar. La primera regla hace referencia al cálculo de la integral indefinida de una función constante. Si f de x igual a k, donde k es cualquier número real, es una constante, entonces la integral indefinida de k por diferencial de x es k por x más C, donde C es cualquier constante real. La interpretación sería, la integral indefinida de una función constante es la constante multiplicada por la x. Veamos algunos ejemplos. En el primero de ellos, tenemos la integral de raíz de dos por diferencial de x. Esta integral indefinida es sencillamente raíz de dos x más C, donde C es cualquier número real. Cuando no haya necesidad de indicar que la constante es un número real, simplemente pondremos la constante. En el segundo ejemplo se trata de hallar la integral indefinida de tres medios diferencial de x. Puesto que también se trata de una función constante, la integral será tres medios de x más C. La última se trata de la integral de cero diferencial de x. En este caso se trata de la integral de la función cero, que también es una constante. Siguiendo la misma regla, sería cero por x más C, en este caso da simplemente una constante C, donde C pertenece a R. La segunda regla hace referencia al cálculo de la integral indefinida de la función potencia de x, es decir, dada la función f de x igual a x elevado a a, donde a es un número real distinto de menos uno, entonces la integral indefinida de x elevado a a diferencial de x, es igual a x elevado a a más uno partido por a más uno más C. Su interpretación es la siguiente, la integral indefinida de la función potencia de x es la base elevada al exponente más uno, dividido por el exponente más uno. Veamos algunos ejemplos. El primero de ellos se trata de hallar la integral indefinida dela función x diferencial de x. Esta función se trata de una potencia. La potencia de exponente uno. Aplicando esta regla, resultado sería x cuadrado partido por dos más C. En el segundo caso también se trata de una función potencia. En este caso se trata de calcular la integral indefinida de la función uno diferencial de x, que sería lo mismo que la función x elevado a cero diferencial de x, que es una potencia, y por tanto el resultado será simplemente x elevado a uno partido por uno más C, es decir, simplemente la función x más la constante. Y en el tercer caso, se trata de hallar la integral indefinida de uno partido por x cubo diferencial de x, que se puede escribir como una potencia x elevado a menos tres, diferencial de x, igual, aplicando la misma regla, x elevado a menos dos partido por menos dos más C. Y esto después de simplificar quedaría menos uno partido por dos x cuadrado más C. Invirtiendo las reglas de derivación que hemos visto en la semana cinco, obtenemos una serie de integrales indefinidas, que se llaman inmediatas. El siguiente cuadro resume las más importantes. La integral indefinida de uno partido por x diferencial de x, sería el logaritmo neperiano de valor absoluto de x más C. Puesto que, la derivada del logaritmo neperiano es uno partido de x. Añadiremos el valor absoluto, puesto que el logaritmo neperiano solo tiene sentido para valores positivos de la variable x. De la misma manera sabemos que la derivada de la función e elevado a la x es ella misma. Por tanto, la integral indefinida de e elevado a x, también será ella misma. Y de la misma manera, puesto que conocemos la derivada de una función exponencial de base distinta de e, utilizando la fórmula de la derivada podemos deducir, que la integral de a elevado a x diferencial de x es a elevado a x partido por logaritmo neperiano de a más C. Y de las propiedades del seno, coseno y tangente, fácilmente se puede deducir que la integral indefinida de seno de x diferencial de x es menos coseno de x más C. La integral de coseno de x diferencial de x es el seno de x. Y finalmente, de la derivada de la tangente podemos deducir que la integral de uno partido por coseno cuadrado de x diferencial de x es igual a tangente de x más C. Otra propiedad que utilizaremos muy a menudo es la siguiente: Se trata de hallar la integral indefinida de una constante por una función. Por las propiedades de la derivada, es fácil deducir que la integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral indefinida de la función. Veamos algunos ejemplos. En primer lugar la interpretación se leería de la siguiente manera: La integral indefinida de una constante por una función es igual a la constante por la integral indefinida de la función. Veamos pues los ejemplos. En el primero de ellos, se trata de integrar la función tres x diferencial de x. Aquí la constante es tres, por tanto escribiríamos siguiendo la regla como tres, por la integral de x diferencial de x y por tanto obtendríamos tres por x cuadrado partido por dos más C, que puede simplemente resumirse como tres x cuadrado partido por dos más C. Veamos el siguiente ejemplo. En el siguiente ejemplo tenemos la integral indefinida de tres por e elevado a x diferencial de x. De nuevo se puede escribir como tres por la integral de e elevado a x diferencial de x y esto, puesto que se trata de una integral inmediata será simplemente tres por e elevado a x más C. En el último caso se trata de hallar la integral de raíz de dos x. También en este caso se trata de una constante por una función, la constante es raíz de dos, y la integral es la función raíz de x diferencial de x. La función raíz de x la podemos interpretar como una potencia, y por tanto tendríamos raíz de dos por la integral de x elevado a un medio, diferencial de x. Puesto que x elevado a un medio es una potencia, aplicamos la regla de la potencia, y obtendremos raíz de dos por x elevado a tres medios partido por tres medios más C. Simplificando obtenemos sencillamente dos raíz de dos partido por tres por la raíz cuadrada de x cubo más C. Y la última propiedad que vamos a estudiar en este vídeo es la propiedad de la integral indefinida de la suma o diferencia de dos funciones. La integral de la suma o diferencia de dos funciones, simplemente es la suma o diferencia de la integral de ambas funciones. Su interpretación por tanto es esta, la integral indefinida de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales indefinidas de cada función. Veamos también unos ejemplos para clarificar esta propiedad. En este caso concreto tenemos la integral de la suma de dos funciones. La función tres seno de x, y la función coseno de x. Aplicando esta propiedad y la propiedad anterior del producto de una constante por una función obtendríamos tres por la integral del seno de x, diferencial de x más la integral del coseno de x, diferencial de x. Puesto que ambas son inmediatas, obtenemos sencillamente menos tres coseno de x más seno de x más C. En el segundo ejemplo se trata de nuevo de la diferencia de dos funciones, una exponencial de base e y una exponencial de base a. El logaritmo neperiano de a, también en este caso es una constante. Por tanto, esta integral se calcularía como la integral de e elevado a x diferencial de x menos logaritmo neperiano de a por la integral de a elevado a x diferencial de x. Calculando estas dos integrales que también son inmediatas, obtendríamos e elevado a x menos logaritmo neperiano de a multiplicado por a elevado a x partido por el logaritmo neperiano de a más C. Simplificando obtenemos sencillamente e elevado a x menos a elevado a x más C. Por último, tenemos la integral de un binomio al cuadrado. Más adelante aprenderemos a calcular esta integral de otra manera. En este caso sencillamente podemos hallar el cuadrado del binomio, que sería la integral de cuatro x cuadrado más doce x más nueve, diferencial de x. Y aplicando la regla de la suma sería la integral de cuatro x cuadrado diferencial de x más la integral de doce x diferencial de x, más la integral de nueve diferencial de x. Calculando cada integral por separado obtendríamos simplemente cuatro tercios de x cubo más seis x cuadrado más nueve x más C. Finalmente vamos a repasar las reglas y propiedades más importantes que hemos estudiado en este vídeo. La primera de ellas hace referencia a la integral de una constante, que como hemos visto es igual a la constante por la variable x más C. A continuación hemos estudiado la integral indefinida de la potencia x elevado a a, con a distinto de menos uno. En este caso hemos visto que da igual a x elevado al exponente más uno partido por el exponente más uno. También hemos estudiado la integral de una constante por una función. Y hemos visto que da igual a la constante por la integral de la función. Y finalmente, también hemos estudiado la integral de la suma o diferencia de dos funciones y hemos visto que da igual a la integral de la primera función más o menos la integral de la segunda función. También hemos estudiado las integrales inmediatas, es decir, las integrales que salen de forma obvia a partir del cálculo de las integrales más simples. Así hemos visto cual era la integral indefinida de la función uno partido por x, la integral indefinida de la función f de x igual a e elevado a x, la integral indefinida de la función a elevado a x, la integral indefinida de la función seno de x, la de la función coseno de x, y finalmente la función f de x igual a uno partido por coseno cuadrado de x. Todas estas aparecen de forma natural al calcular las derivadas correspondientes.
