שלום. בפרק האחרון בנושא הפונקציות אנחנו נעסוק במושג הנגזרת שבוודאי שמעתם עליו בבית הספר, אבל אני רוצה לדון בו מן ההתחלה, מן היסוד וכדי לדון במושג הנגזרת אנחנו נדון בבעיה של תיאור דרך כפונקציה של זמן וחישוב מהירות נסיעה. בעיה שוודאי מוכרת לכולכם. ונתחיל בשאלה של מהי מהירות ממוצעת? אילו אני נוסע מירושלים לאילת במכונית ומודד את התקדמות הנסיעה בעזרת מד המרחק ובעזרת השעון שלי מודד את הזמן, אני יוכל לענות על השלה מה הייתה המהירות הממוצעת שלי, נאמר בשעה השלישית לטיול שלי, בשעה השלישית לנסיעה. אני אסתכל במרחק שעברתי, כלומר אפחית את המרחק אליו הגעתי בשעה 3, מן המרחק שאליו הגעתי בשעה 2 ואקבל את המרחק שעברתי בשעה השלישית ואחלק את זה בזמן, במקרה זה היה השעה 1, ואקבל את המהירות הממוצעת בשעה השלישית לנסיעה שלי. בצורה גרפית, אפשר לתאר את אותו מסע לאילת בעזרת גרף של S, הדרך או המרחק, במקרה זה מדוד בקילומטרים, אלה היחידות שלי, כפונקציה של הזמן מדוד בשעות. התחלתי במרחק 0 קילומטרים מנקודת המוצא, מירושלים, סיימתי את המסע במרחק אחר, לא מצוין כאן, והתפתחות המסע המתוארת בעזרת התרשים הזה, ממנו אפשר ללמוד כבר עכשיו כמה דברים איכותיים, אפשר ללמוד שבשלב ראשון נסעתי במהירות די גבוהה, כן, פחות או יותר בקצב אחיד. אחרי זה האטתי את הנסיעה, אנחנו נעבור על זה אחר כך ובהרחבה. בשלב הזה אולי התעייפתי, אולי הדרך היתה יותר קשה, הכבישים היו יותר צרים, ואח"כ שוב הגברתי את קצב הנסיעה. השאלה שהצגתי קודם מה הייתה המהירות הממוצעת בשעה השלישית לנסיעה? נענית בדרך הבאה. אני מוצא מה היה המרחק בזמן שתי שעות. מוצא מה היה המרחק בזמן 3 שעות. הפרש המרחקים ייסומן בדלתא S. במקרה זה זה S3 פחות S2, הוא הניצב המקביל לציר S, ציר Y במשולש ישר הזווית שציירתי, והפרש הזמנים יסומן דלתא T, במקרה זה 3 פחות 2 שווה 1 הוא הניצב המקביל לציר T, ציר X, באותו משולש והמהירות הממוצעת בין זמן 2 לזמן 3 היא דלתא S מחולק בדלתא T, במקרה זה S של 3 פחות Sשל 2, מחולק ב1, שעה אחת, אבל בואו נרשום את זה כ3 פחות 2. זו המהירות שאילו הייתי נוסע בה במהירות קבועה במשך אותה שעה שלישית, הייתי מכסה את המרחק שעברתי בפועל. בתרשים המהירות הממוצעת, המנה של דלתא S בדלתא T, היא שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות הללו שעל הגרף. הנקודות הללו אומרות לי איפה הייתי בשעה, בזמן T שווה 2 שעות ובזמן T שווה 3 שעות. המיתר שמחבר אותן, במקרה זה היתר במשולש ישר זווית, איננו חופף את הגרף, אבל הוא מייצג לי את המהירות הממוצעת בזמן הזה. שיפועו: דלתא S חלקי דלתא T. ככל שהשיפוע יותר תלול, המהירות יותר גבוהה. שיפוע, דרך אגב, היה יכול להיות גם שלילי אילו נסעתי אחורנית. במקרה זה המהירות הייתה נמדדת כמספר שלילי. עד כאן טוב ויפה, אבל כאשר המשטרה עוצרת אותנו אי שם במצפה רמון וטוענת שנהגנו במהירות שעברה 120 קילומטר לשעה, היא לא מתייחסת למהירות ממוצעת. מכמונות המשטרה מודדות מה שקרוי מהירות רגעית ואותו שוטר שעוצר אותי טוען שברגע מסוים, באותו רגע בו הוא צילם אותי, נהגתי במהירות של 120 קילומטר לשעה וכעדות מה הוא יכול להביא? כעדות הוא יכול להביא, צילום, תמונה מאותו רגע, אבל בתמונה המכונית נייחת, בתמונה המכונית אינה זזה. אז איך אנחנו פותרים את הפרדוקס הזה בין מהירות ממוצעת ובין מהירות רגעית? מצד אחד, לא מודדים מהירות ממוצעת, מודדים מהירות רגעית, אבל ברגע נתון איננו נעים. אם המכונית תצולם ברגע נתון, היא נחה. בוא ננסה להבין מה מסתתר מאחורי המונח מהירות רגעית. ובכן, מה ההבדל בין מהירות ממוצעת לעומת מהירות רגעית? בואו נשתמש בגרף שלפנינו ונניח שהשוטר עצר אותנו בזמן T שווה 2 וטען שבנקודה הזאת הייתה לי מהירות ממוצעת מסוימת. מה שבעצם השוטר או אותה מכמונת מהירות עושים הוא לחשב בזמנים קרובים מאד לT שווה 2 מהירויות ממוצעות ולהשתמש באותן מהירויות ממוצעות כקירובים הולכים ושהולכים ונהיים טובים יותר למהירות הרגעית באותו רגע. בואו נראה איך זה נעשה מבחינה גרפית על הגרף שלנו. למעשה המכשור האלקטרוני שנמצא במכמונת המהירות עושה בדיוק את אותו תהליך באמצעים פיזיקליים שלא נעמוד עליהם. שרטטתי כאן עיגול ואני רוצה לשים זכוכית מגדלת על החלק הזה ולצייר את הגרף הזה מחדש. נעשה את זה כאן: נשרטט רק את אותו חלק שבעיגול בצורה מוגדלת, הוא נראה בערך ככה. הנקודה T שווה 2 וS של 2, זהו ציר הS, זהו ציר הT, מופיעה כאן. ומה שה שוטר עושה, הוא לוקח זמן קרוב מאד לT שווה 2, נסמן אותו לT שווה 2 ועוד H, ומודד את המהירות הממוצעת על פני אותו זמן בדיוק כפי שאנחנו עשינו בין 2 ל3, אלא שהפעם H יהיה נמדד בשניות אחדות, כלומר הוא מודד כמה עברנו, מה היה המרחק דלתא S שעברנו בין הזמן 2 והזמן 2 ועוד H. והוא מודד כמובן את דלתא T שבמקרה זה הוא 2 ועוד H פחות H, ועל כן הוא H. את הפרש המרחק הוא מודד בעזרת שתי קרני לייזר' את הפרש הזמנים בעזרת שעון עצר, סטופר, והמכשיר מחשב את המהירות הממוצעת, לא המהירות הרגעית, אבל על פני פרק זמן קצר מאד. כלומר הוא מחשב את שיפוע המיתר הזה. אבל הוא לא עושה חישוב אחד, הוא עושה הרבה מאד חישובים. הוא מודד בעצם בעזרת הרבה מאד קרני לייזר את שיפוע המיתר גם לזמן יותר קצר ולזמן יותר קצר, לזמן יותר קצר. אתם רואים שהמיתרים הללו אורכיהם הולכים ומתקצרים, אבל שיפועיהם מאד קרובים האחד לשני. כל אחד יסכים מבחינה חזותית ששיפועי המיתרים הללו הולכים ומתקרבים לשיפוע ישר, שאני אשרטט אותו בצבע אדום, שיזכה עוד מעט לתואר המשיק. זהו הישר הזה, שהוא נושק לגרף של דרך לעומת זמן בנקודה הנדונה שבה אני אמור לקבל את הקנס, בסופו של דבר. בואו ננסה לנסח את המושג הזה ראשית ניסוח מילולי לא מדויק ואחר כך ניתן את הניסוח המתמטי המדויק. המהירות הרגעית, בזמן T0 שווה 2 הינה הערך הגבולי, ואת המושג הזה בדיוק אני אנסה להסביר, כאשר אני אתן ניסוח מתמטי מדויק, הערך הגבולי של המהירויות הממוצעות בין T0 שווה 2 לT0 שווה 2 ועוד H, כאשר נותנים את המשפט כאן H הולך וקטן. בטרם נפנה לניסוח מתמטי מדויק אני רוצה להעיר רק שאין שום סיבה להתמקד בHים חיוביים. יכולנו באותה מידה למדוד את המהירות הממוצעת על פני אינטרבל זמן, קטע זמן, H פסיק שהוא קדם לאותה נקודה T שווה 2 והיינו מקבלים את שיפוע המיתר הזה. שימו לב שבמקרה זה דלתא S היה שלילי מפני ש כדי לחשב את דלתא S אני מחשב את S ו 2 ועוד H פסיק, פחות S ב-2 בציור שלי זהו גודל שלילי, אבל גם דלתא T היה שלילי מפני שדלתא T הוא H פסיק וH פסיק במקרה הזה הוא שלילי. כן, במקרה זה דלתא T הוא H פסיק, הוא שלילי. במקרה הזה, דלתא T הוא H, הוא חיובי. ועל כן המנה של שני הגדלים, מנה של גודל שלילי בגודל שלילי שוב הייתה נותנת לי אתת אותו שיפוע מיתר חיובי וכאשר אני מקטין את H פסיק בערך מוחלט, כלומר בעצם מקרב אותו יותר ויותר לאפס, המיתר הזה הולך ומתקרב אל המשיק מבחינה גרפית. ברצוני עכשיו לעבור ולדבר על פונקציה כללית, Y שווה F של X. בואו נניח שזה הגרף שלה, ולהסביר את מושג הנגזרת ב קונטסט הכללי יותר. בוא נאמר שהפונקציה הזו מוגדרת עבור X באינטרבל בין A לB, וX0 היא נקודה שבה אני מעוניין בחישוב קצב שינוי הפונקציה, הקצב הרגעי של שינוי הפונקציה. את הערך ב X0 נסמן ב Y0. וכפי שראינו בהקשר של מהירות, בהקשר של דרך כפונקציה של זמן וחישוב מהירות, אין משמעות לדבר על הקצב הרגעי אם יודעים רק את ערך הפונקציה באותו רגע. ברגע שבו אנחנו מעוניינים למדוד את המהירות הרגעית המכונית נחה. אני חייב לדעת את הפונקציה או את מצב המכונית כפונקציה של זמן בסביבה מסוימת, בקטע מסוים שמכיל את הנקודה שלי, ולצורך העניין אני מניח שאני יודע את זה בכל הקטע בין A לB. אילו אנחנו מתעניינים בקצב שינוי ממוצע על פני אינטרבל בין X0 וX0 ועוד H, ראינו שקצב השינוי הממוצע של הפונקציה נתון על ידי המנה של הגידול בY מחולק בגידול בX. אמרתי גידול, כמובן הגידול יכול להיות גם שלילי, יכול להיות שהפונקצייה יורדת בקטע הזה והגידול בY הוא שלילי, כלומר Y קטן. אם כך קצב שינוי FX על פני הקטע, האינטרבל X0 X0 ועוד H הינו השינוי בY מחולק בשינוי בX והשינוי בY הוא F של X0 ועוד H, פחות F של X0, זהו הגודל הזה, מחולק בשינוי בX שהוא H. הגודל הזה מבחינה גרפית מתאר את שיפוע המיתר בין הנקודה ההתחלתית והנקודה אליה הגעתי אחרי H יחידות. הגודל הזה נקרא שיפוע המיתר. כאשר הקטע הנדון הולך וקטן, כאשר H הולך ושואף לאפס, נהיה יותר ויותר קטן, אני אצייר באדום מה קורה אם אני לוקח ערך יותר קטן של H מבלי לתת לו שם, ערך הפונקציה הוא כאן ושיפוע המיתר די דומה לשיפוע של המיתר המקורי, אבל מתקרב למשיק, לגרף. ובצבע אחר, בירוק, אני יכול לצייר מיתר עוד יותר קצר. וכן הלאה. הערך הגבולי של שיפועי המיתרים של קצב השינוי ייקרא קצב השינוי הרגעי של הפונקציה, או בשפה מתמטית, הנגזרת. הנגזרת של F בX0. קצב השינוי הרגעי, להבדיל מקצב שינוי על פני קטע שלם בX0, הינו הערך הגבולי, ואני אעמוד על הביטוי הזה מייד, של אותו קצב שינוי ממוצע על פני קטע של קצב השינוי הממוצע כאשר H שואף ל0. החץ הזה אומר ש-H הולך וקטן ובסימונים הנגזרת ב-X0 היא הגבול LIM מסמן LIMIT, גבול. כאשר H שואף ל-0 של הביטוי שרשמנו מקודם: FX0 ועוד H. פחות FX0. חלקי H. אני לא אכנס להגדרה מתמטית מדוייקת של מושג הגבול. את זה תראו בשנה הראשונה בלימודיכם באוניברסיטה אבל אני רוצה לחזור על הסבר מילולי שנתתי כאשר דיברתי על גבול של פונקציה באינסוף. הפעם מדובר על גבול של פונקציה, מדובר על גבול של שיפוע מיתר לפונקציה, ביטוי אחר שנגזר בדרך גיאומטרית מין הגרף של הפונקציה, לא מדובר בגבול של F עצמה, אבל המשחק מאחורי המושג הזה הוא אותו משחק. אם אני טוען שהביטוי שואף לגבול כאשר H הולך וקטן אני טוען שישנו מספר שאת קיומו אני צריך להוכיח, להראות שאליו שיפוע המיתר מתקרב יותר ויותר. ויש פה אותו משחק של טוען ומאתגר שכבר עמדתי עליו אם אני טוען שהמספר הזה הוא 6 למשל, ואנחנו נראה את זה בדוגמא עוד מעט זה אומר שאם מישהו מאתגר עם מידת דיוק מסוימת, כלומר מאית 0.01, אני צריך הראות לו או להיות מסוגל לפחות להוכיח לו שעבור Hים מספיק קטנים סביב X0, כלומר עבור Xים מספיק קרובים לX0, עבור Hים מספיק קטנים שיפוע המיתר הזה, הקצב הממוצע על פני הקטע נבדל מאותו ערך 6 ולא יותר מ-0.01 כלומר נמצא בין 5.99 ל-6.01 אבל בכך לא תם לא תמה המלאכה שלי. אותו מאתגר מהקהל יכול לומר בסדר, עכשיו אני אחליף את 0.01 באלפית או אח"כ במיליונית או ב-10 מינוס 12 או באיזה גודל קטן חיובי שהוא רוצה ואני אצטרך להצטמצם לסביבות יותר קטנות, ויותר קטנות של X0, אולי אני אצטרך זכוכית מגדלת או מיקרוסקופ כדי להסתכל על הגרף תחת מיקרוסקופ ולראות שבסביבות מאד קטנות, שיפוע המיתר הזה נבדל מן הערך 6 שהוא הערך של הנגזרת שאני מתיימר להוכיח ולא יותר מאותה טעות קטנה. התהליך הזה הוא לכאורה תהליך אינסופי, אם אכן לכל מידת דיוק נתונה הייתי צריך לחזור על התהליך, זה לא היה נגמר לעולם אבל הכלים המתמטים מאפשרים לנו בסמלים הנכונים, בשיטות הנכונות להוכיח את זה בבת אחת לכל מידת דיוק שרק נרצה. הערה נוספת היא שבציור הפונקציה היתה עולה ואת המיתר בניתי מימין לנקודה המבוקשת אבל המיתר יכול להיות באותה מידה מיתר שנבנה משמאל לנקודה המבוקשת ובדוגמה הזאת כאשר הפונקצייה עולה אם המיתר נבנה משמאל הנקודה המבוקשת, כלומר אם H שלילי או הנקודה הקרובה ל-X0 קודמת לה בזמן הן דלתא Y והן דלתא X יהיו שליליים. הן דלתא Y הוא במקרה כזה השינוי הזה ודלתא X הוא השינוי הזה. H הוא שלילי. ושוב המנה תהיה חיובית מה שמצביע על זה שהפונקציה היא עולה. כלומר, בזמן שהפונקציה עולה, עולה ממש. שיפועי המיתרים יהיו חיוביים או לפחות גדולים או שווים מ-0. וכן הנגזרת. אילו הפונקציה היתה יורדת בקטע סימני דלתא Y ודלתא X היו הפוכים, אילו היינו מדברים על מיתר מימין ל-X0, הגידול בX היה חיובי אבל הפונקציה היתה יורדת. דלתא Y היה שלילי. אילו היינו מדברים על מיתר משמאל הנקודה המבוקשת דלתא X היה שלילי אבל דלתא Y היה חיובי. בכל מקרה, כאשר הפונקציה יורדת בין אם אנחנו משמאל לנקודה המבוקשת או מימין לה המנה הזאת שלילית ושיפוע המיתר שלי, שיפוע המשיק שהוא הביטוי הגבולי הזה, אני אעמוד על כך בהמשך הוא לפחות קטן או שווה מ-0. בואו נראה את כל זה בפעולה בדוגמה פשוטה ומוכרת. הדוגמה שברצוני לקחת הינה הפונקצייה Y שווה F של X שווה X בריבוע, הפרבולה המוכרת לכלכם. הגרף שלה נראה כך. והנקודה שבה אני אחשב את הנגזרת תהיה X0 שווה 3. בנקודה הזאת ערך הפונקציה הינו כמובן 9. כשלב ראשון בואו נחשב את שיפוע המיתר בין X0 שהיא 3 ונקודה כלשהי X שנסמן אותה כמקודם 3 ועוד H. Y0 ו-F של X0 זה 9 ובנקודה X שהיא 3 ועוד H Y, שהוא F של X יהיה 3 ועוד H בריבוע. ואת זה אנחנו יכולים לפתח בעזרת נוסחת הבינום כ-9 ועוד 6H ועוד H בריבוע, גרפית נקווה שהלוח מספיק גדול אני מעלה אנך מן הנקודה 3 ועוד H ופוגש את הגרף בנקודה הזו 9 ועוד 6H ועוד H בריבוע זהו Y0, זהו ה-Y. וכרגיל אני מסתכל במשולש יישר זווית שאורך ניצביו הם הגידול ב-X והגידול ב-Y ובואו נחשב אותם, דלתא Y זה 9 ועוד 6H ועוד 6 בריבוע פחות 9 והדלתא X הוא כמובן 3 ועוד H פחות 3, הוא H. מהו קצב השינוי הממוצע של הפונקציה X בריבוע על פני הקטע הזה? זהו הגידול ב-Y מחולק בגידול ב-X קצב השינוי הממוצע בקטע 3, 3 ועוד H מדגיש זהו שיפוע המיתר לגרף הפונקציה, הינו דלתא Y חלקי דלתא X, הבה נציב את הערכים שקיבלנו שישה H ועוד H בריבוע מחולק ב-H והיות ו-H חיובי מותר לי לחלק חיובי או שלילי אבל אינו 0. מדובר במיתר לא מנוון יכולתי לבצע את אותו תהליך גם כאשר H היה שלילי כפי שהסברתי מקודם. אני יכול לחלק ולקבל 6 ועוד H. בנקודה זו כדאי לעצור ולהעיר ששיפוע המיתר אינו קבוע, הוא באמת תלוי ב-H. שימו לב שהוא גדל עם H ואכן אם אנחנו מתקדמים לאורך הגרף של הפונקציה, המיתר שיפועו הולך וגדל. כאשר H שלילי, השיפוע יהיה קטן מ 6, כאשר H חיובי, הוא יהיה גדול מ 6. גם מבלי להכיר את הכלים המתמטיים שמאפשרים לנו לחשב גבול ברור לכל אחד שכאשר H קטן מאוד, כאשר הנקודה X קרובה מאוד לנקודה הזאת, קרובה מאוד לנקודה X אפס, הביטוי 6 ועוד H קרוב מאוד ל 6. ולכן, הנגזרת שהיא הערך הגבולי של הפונקציה בנקודה 3 היא הביטוי הבא, היא הגבול של שיפוע המיתר, הגבול של 6 ועוד H, כאשר H שואף ל 0 וזהו המספר 6. בתוצאה המתקבלת התלות ב H נעלמת, זהו מספר והמספר הזה מייצג את הערך הגבולי של שיפוע המיתר, שהוא כפי שהסברנו כמה פעמים שיפוע המשיק לגרף הפונקציה. הקו האדום הזה שיפועו 6. האם לכל פונקציה יש נגזרת? האם הגבול הזה תמיד קיים? אם הוא קיים, אני קורא לגבול הזה הנגזרת, או קצב השינוי הרגעי, אבל בואו נסתכל בדוגמה פשוטה ביותר, בה הנגזרת לא קיימת, והיא הדוגמה לפונקציה F של X שווה ערך מוחלט של X, בנקודה X אפס שווה 0. הגרף של הפונקציה הזאת מוכר לכולכם. עבור X-ים שליליים הערך המוחלט הוא מינוס X ועבור X-ים חיוביים הערך המוחלט הוא פלוס X-ים. אילו חזרתי על כל התהליך שעשיתי קודם בהקשר של דרך כפונקציה של זמן ועכשיו בהקשר של הפרבולה בדוגמה הזאת, הייתי צריך לקבוע את הנקודה הזאת ולהסתכל על נקודות סמוכות לה, הן מימין והן משמאל. בנקודות מימין לה המיתר מתלכד עם הפונקציה Y שווה X ועל כן שיפועו 1. הפונקציה לינארית מימין וככל שאנחנו נצמצם את H, נישאר עם מיתר שמונח על אותו ישר ושיפועו 1. לכן גם הערך הגבולי מן הכיוון הזה הוא 1. בואו נסמן את זה בחץ. שיפוע המיתר או קצב השינוי הממוצע עבור X גדול מ 0 הינו 1. באותו אופן שיפוע המיתר משמאל הינו מינוס 1. הפונקציה בקטע הזה היא שוב לינארית וחופפת את הפונקציה Y שווה מינוס X. שיפוע המיתר הינו מינוס 1. אין גבול לשיפועי המיתרים כאשר H הולך וקטן. אילו הייתי מתקדם מכיוון 1, הגבול היה צריך להיות 1. אילו הייתי מתקדם מכיוון אחר, הגבול היה צריך להיות מינוס 1. ועל כך, אין גבול אחד ויחיד המועמד לשאת בתואר הנכסף, הנגזרת. אילו הייתי חושב על הדוגמה הזאת בהקשר של מהירות, דרך כפונקציה של מרחק ומהירות, למה זה מתאים? זה מתאים לתיאור של חלקיק ש נע במהירות אחידה, מגיע לקיר, מתנגש התנגשות אלסטית וניתר מן הקיר באותה מהירות אחידה ובכיוון הפוך. הנגזרת, קצב השינוי של הדרך כפונקציה של הזמן, היא המהירות ואכן יש לחלקיק מהירות אחידה, מינוס 1, כל עוד הוא לא פגע בקיר. אחרי שהוא פוגע בקיר הוא ניתר ימינה והמהירות האחידה היא 1. ברגע הפגיעה עצמו לא ניתן לייחס לו מהירות. דוגמאות של פונקציות לא גזירות הרבה יותר מסובכות, קיימות, אבל לא נכנס אליהן. הערה אחרונה שהיא בעלת אופי קצת פילוסופי היא ההערה, מה אנחנו צריכים לדעת על מנת לחשב או לדון בנגזרת של פונקציה בנקודה? מה צריך לדעת אותו שוטר שנותן לי דוח על המסע שלי לאילת? אם השוטר מוצב במצפה רמון, לא מעניין אותו איך נהגתי בערד או בשדה בוקר, מעניין אותו רק מה קרה קצת לפני וקצת אחרי הנקודה בה הוא מוצב. מצד שני, הוא חייב לדעת מה קרה קצת לפני וקצת אחרי. לא די לו לצלם אותי ברגע שאני עובר על פניו. כלומר, חישוב הנגזרת מחייב את ידיעת הפונקציה קצת לפני וקצת אחרי הנקודה בה אנחנו מתעניינים. כמה קצת? זה לא חשוב. הקצת הזה יכול להיות עשירית, מאית, מליונית, תלוי במכשור, תלוי ב דוגמה הסצפציפית שבה אנחנו עורכים את החישוב, אבל כל מידע שהוא בסביבת הנקודה מספק.
