שלום! בשיעור שעבר דיברנו על סדרות חשבוניות. שהיא משפחה של סדרות שבהן ההפרש בין כל שני איברים הוא קבוע. היום נדבר על סדרות הנדסיות. סדרות הנדסיות זו משפחה של סדרות של מספרים כן, סדרת שבהן, היחס בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. בואו נסתכל אולי על 2 דוגמאות. הנה דוגמה לתחילתה של סדרה הנדסית האיבר הראשון הוא 3, האיבר השני הוא 6 שימו לב היחס בין האיבר השני לראשון הוא 2 וכדי שנבנה עכשיו סדרה הנדסית צריך לשמור על יחס קבוע, כלומר האיבר השלישי צריך להיות גדול פי 2 מהאיבר השני וכך הלאה דוגמה נוספת לסדרה הנדסית, היא סדרה שאיברה הראשון הוא 4 האיבר השני הוא מינוס 4, הפעם היחס בין שני איברים עוקבים הוא מינוס 1 והוא כדי לשמור על יחס קבוע. האיבר הבא יהיה 4 מינוס 4, 4 וכך הלאה... גם זו סדרה הנדסית כי היא מקיימת את התנאי שקבענו כדי שסדרה תקרא הנדסית צריך שיהיה יחס קבוע בין שני איברים עוקבים, במקרה זה 2 במקרה הראשון, במקרה השני היחס הקבוע הוא מינוס 1. כשדיברנו בשיעור הראשון בנושא סדרות על דרכים להגדיר סדרה דיברנו על הגדרה רקורסיבית של סדרה אם כן, גם במקרה של סדרות הנדסיות, נוכל להגדיר אותם באופן רקורסיבי הגדרה רקורסיבית. אז מכיוון שהיחס הוא קבוע אנחנו צריכים לציין בהגדרה רקורסיבית מהו אותו יחס קבוע, זה איזשהו מספר. יחס הסדרה מקובל אם כי לא חייבים, לסמן אותו באות Q. שהיא האות הראשונה של המילה Qloutens שפירושה יחס. ואם כן, אם Q הוא יחס הסדרה מה שמגדיר יחס סדרה הנדסית זה שהאיבר ה-N ועוד 1, לכל N האיבר ה-N ועוד 1 הוא האיבר הקודם לו, האיבר ה-N כפול Q. אותו יחס קבוע. בדיוק כמו בסדרות חשבוניות, כדי שהסדרה הזו תהיה מוגדרת באופן יחיד אז צריך לציין גם את אחד האיברים בסדרה, מקובל בדרך כלל לציין את האיבר הראשון. אז נסמן במקרה זה גם כפי שעשינו בסדרות חשבוניות באות A גדולה את האיבר הראשון. זו דרך רקורסיבית להגדיר סדרה הנדסית. שימו לב שבמקרה הזה האיבר הראשון היה שווה ל-3 והמנה, היחס הקבוע בסדרה, היתה 2 ובמקרה השני האיבר הראשון היה 4 ומנת הסדרה היתה מינוס 1. סדרות הנדסיות מופיעות הרבה בחיים, גם בטבע וגם בחיים האנושיים. בואו, אני אציין 3 מצבים אופייניים שבהם נתקלים בסדרות הנדסיות. אם כן סדרות הנדסיות בחיים. אז דוגמה ראשונה תהיה התרבות של יצורים חד תאיים. יצורים חד תאיים מתרבים באמצעות התחלקות, יש תא אחד, מתחלק לשניים וכך התחלנו מיצור 1 קיבלנו 2 ואז כל אחד מהשניים מתחלק וכך הם מתרבים. למשל שמרים, אם יש לנו מושבה של שמרים והם בתנאי תזונה וטמפרטורה שמתאימים להם על מנת לגדול ולהתרבות כל שעה מספר תאי השמר יגדל בקירוב ב-60% אוקי, כך שאם יש לנו מושבה של שמרים באיזשהם תנאים, ונניח שהתחלנו ב-100 תאי שמר אז אחרי שעה יהיו בקירוב 160 תאי שמר. עכשיו תארו לכם שאנחנו פעם בשעה מונעים כמה תאים יש באותה מושבת שמרים. מה שנקבל זו סדרה הנדסית אוקי, שבה בכל שעה יש פי 1.6 יותר תאים מאשר בשעה שקדמה לה. כך שאם AN מודד את מספר התאים בתחילת השעה ה-N הרי שבמקרה הזה, כן בדוגמה שציינתי נקבל סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון היה 100. היו 100 תאים ומנת הסדרה היא 1.6. וכך כעבור שעה יש לנו 160 תאים, כעבור שעתיים יהיו לנו 160 כפול 1.6 כן, במקרה הזה 256 תאים וכן הלאה. אז זאת דוגמה אחת. דוגמה שניה, תבוא מהתחום הכלכלי תוכנית חיסכון. כן, אפשר ללכת לבנק לפתוח תוכנית חיסכון שמבטיחה לנו למשל שבכל שנה הכסף המושקע בבנק יגדל ב-5 אחוזים. במקרה זה כן, אז תוכנית חיסכון למשל חמישה % ריבית בשנה, שנתית. אז אם אנחנו משקיעים סכום התחלתי כעבור שנה הסכום הזה יוכפל פי 1.05 5% גידול. וכך כל שנה. אז גם במקרה זה אם AN הוא סכום, הסכום בתוכנית בתחילת השנה ה-N אז A1 זה יהיה הסכום שהשקענו במקור וגם כאן נקבל אם כן סדרה הנדסית שבה האיבר ה-N ועוד 1 שווה לאיבר ה-N בתחילת השנה N ועוד 1 הסכום הכסף יהיה, סכום בתחילת השנה N כפול אותה ריבית שנתית 1.05. דוגמה שלישית וכפי שתראו היא שונה משתי הראשונות, בשתי הראשונות היה לנו תהליך של גידול, AN היה גדול מ-AN פחות 1. דוגמה שלישית גם כן של סדרה הנדסית היא סדרה דועכת. הדוגמה תהיה התפרקות רדיואקטיבית. חומרים רדיואקטיביים הם חומרים שעוברים תהליך בלתי הפיך של התפרקות של אטומים בהם. למשל לפחמן קיים איזוטופ שנקרא פחמן 14. הוא איזוטופ מאוד חשוב לצורך שיערוך ממצאים ארכאולוגים מתקופת הפרה היסטוריה או אפילו מתקופות הרבה יותר עתיקות מזה. מה שמאפיין את האיזוטופ 14 של פחמן זה שאם יש לנו חומר שמכיל את האיזוטופ הזה כמות האיזוטופ קטנה ב-50% כל 5000 שנה. כך שאם בדוגמה זו כן, AN למשל ייצג את כמות האיזוטופ פחמן 14 אחרי 5000N שנים, כלומר אני מסתכל במרווחים של 5000 שנה, אז כמות הפחמן 14 כעבור. 5000N שנים, כן 5000, 10,000, 15,000 שנה מאז שמשהו נוצר למשל. אז במקרה זה אנחנו מקבלים סדרה הנדסית שבה האיבר ה-N ועוד 1 הוא מחצית האיבר ה-N. גם זו סדרה הנדסית שלהבדיל מ-2 הדוגמאות הראשונות היא סדרה שדועכת. AN ועוד 1 קטן מ-AN בידנו הגדרה רקורסיבית לסדרה גאומטרית שהאיבר הראשון של הוא A ומנת הסדרה, היחס הקבוע הוא Q בדיוק כפי שעשינו בסדרות חשבוניות היינו רוצים שתהיה בידנו אבל נוסחה מפורשת כדי למצוא כל איבר בסדרה מבלי לחשב את כל האיברים שקודמים לו, כי דם במקרה הזה לכאורה אם אני רוצה לדעת מהו האיבר ה-100 בסדרה הוא Q פעמים האיבר ה-99 וכך אני צריך לחזור אחורה עד לאיבר הראשון. אז הדבר הבא שנעשה יהיה לפתח נוסחה מפורשת אז אם נתבונן בנוסחה הרקורסיבית הרי שנובע ממנה שהאיבר השני הוא Q פעמים האיבר הראשון שזה שווה ל-A האיבר השלישי הוא Q פעמים האיבר השני אבל הוא נתון על ידי QA ולכן מקבלים Q בריבוע כפול A. האיבר הרביעי שווה ל-Q פעמים האיבר השלישי כפול A ואם נציב את ערכו של האיבר השלישי נקבל Q בשלישית A ובשלב זה אני מנחש שאתם רואים את המבנה שמתקבל הוא מאוד, מאוד מזכיר את מה שראינו בסדרות חשבוניות, שם זה היה חיבורי פה זה כיפלי. כמובן בגלל האופי השונה של שני סוגי הסדרות. כן אז המבנה שאנחנו רואים, האיבר השני הוא Q אפשר לומר בחזרת 1 פעמים A. האיבר השלישי הוא Q בריבוע פעמים A האיבר הרביעי הוא Q בשלישית פעמים A ולא קשה לנחש שהאיבר ה-N בסדרה זו יהיה שווה ל-A שיוכפל ב-Q בחזקת N פחות 1. זו הנוסחה המפורשת לאיבר ה-N בסדרה שזו הגדרתה הרקורסיבית. בדיוק כמו שעשינו בסדרות חשבוניות אפשר לבדוק כן, לא, אולי אתם לא מאמינים לכך, אולי זה נראה שזו היתה הסקה מהירה מידי מ-3 דוגמאות אז אפשר לוודא שבאמת הנוסחה הזו מקיימת את התנאים הדרושים. למשל אם נציב N שווה 1, נקבל כאן Q בחזקת 0. כל מספר בחזקת 0 הוא 1 לכן באמת נקבל כשנציב N שווה 1, נקבל ש-AN שווה ל-A כפי שרצינו. ואם נכתוב מהו AN ועוד 1 נציב כאן, נקבל שהוא שווה ל-Q בחזקת N כפול A. אז Q בחזקת N נוכל לפרק ל-Q כפול Q ב-N פחות 1 כפול A. ולכן אם באמת זהו האיבר ה-N אז האיבר ה-N ועוד 1 שווה ל-Q פעמים האיבר ה-N. אז בדקנו שאכן הנוסחה המפורשת הזאת מקיימת את ההגדרה הרקורסיבית. אז אם נחזור לדוגמה שפתחנו איתה את השיעור הזה. הסדרה ההנדסית 3, 6, 12, 24 וכו׳. היא סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון שווה ל-3 ומנת הסדרה שווה ל-2. הרי שבידנו עכשיו נוסחה מפורשת לחשב כל איבר בסדרה. למשל האיבר ה-100 בסדרה הזו לפי אותה נוסחה שזה עתה פיתחנו יהיה שווה לאיבר הראשון כלומר 3 מוכפל במנת הסדרה שהיא 2 בחזקת N100 פחות 1, 99 כמובן שאנחנו צריכים מחשבון כדי לחשב כמה זה שווה אבל יש לנו פה ביטוי מפורש לאיבר ה-100. כשדנו בשיעור שעבר בסדרות חשבוניות אחרי שהבנו מהו האיבר הכללי בסדרה, כיצד לחשב את האיבר ה-N. הסתכלנו על סכום N איברים ראשונים בסדרה. בדיוק באותו אופן אפשר להתבונן בסכום N האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. אנחנו מדברים על סדרה חדשה. סימנו אותה בשיעור שעבר בסימן SN, האיבר ה-N של סדרת הסכומים החלקיים והיא הוגדרה בתור סכום N האיברים הראשונים של הסדרה במקרה זה סדרה הנדסית. אז בדיוק כמו שעשינו בסדרות חשבוניות נרצה עכשיו למצוא דרך לבטא בצורה מפורשת את סדרת הסכומים החלקיים. יש לנו עכשיו סדרה הנדסית שבה האיבר ה-N הוא Q בחזקת N פחות 1 כפול A שמסמן את האיבר הראשון. ואנחנו שואלים בהינתן שאלה איברי הסדרה מהו ביטוי מפורש ל-N האיברים הראשונים? אז בואו רגע נראה מה כתוב פה בעצם. האיבר הראשן שהוא A אליו אנחנו מוסיפים את האיבר השני שהוא Q פעמים A מוסיפים את האיבר השלישי שהוא Q בריבוע פעמים A וכך עד האיבר ה-N שהוא Q בחזקת N פחות 1 פעמים A שימו לב שיש לנו פה גורם משותף, האיבר הראשון A אפשר להוציא אותו מחוץ לסוגריים ולקבל את הביטוי A פעמים 1 ועוד Q ועוד Q בריבוע כך עד Q בחזקת N פחות. אלא שכאן עדין לא כתוב ביטוי מפורש כלומר, או במילים אחרות מה שאני מתכוון לומר זה שאם יהיה נתון לנו ש-Q למשל שווה 3 ו-N שווה 1000 אנחנו נצטרך לעבוד קשה כדי לחשב את הסכום הזה. ביטוי פשוט יותר שקל להערכה באופן מידי. אז בואו רגע אנחנו שואלים את עצמנו מה ערכו של הביטוי שכתוב כאן בסוגריים, כלומר 1 ועוד Q ועוד Q בריבוע עד ועוד Q בחזרת N פחות 1. יש כמה דרכים לקבל נוסחה מפורשת לסכום כזה. אני אראה את אחת מהן. אז הנה דרך, אנחנו לא יודעים מהו ערכו של הביטוי הזה אז בואו נעשה את מה שבדרך כלל עושים במתמטיקה כשלא יודעים משהו, נותנים לו שם. נקרא לו X. ובואו נכפול את ה-X הלא ידוע הזה במנת הסדרה, ב-Q. בואו נשאל את עצמנו מזה Q פעמים X. אז נכפול ב-Q. אנחנו כמובן יכולים Q כפול 1 זה Q. Q כפול Q זה Q בריבוע ועוד Q בשלישית וכך עד Q פעמים האיבר האחרון נקבל Q בחזקת N. עכשיו שימו לב שהביטוי שכתוב כאן שהוא Q פעמים הנעלם שלנו מאוד מזכיר את הביטוי שכתוב מעליו שהוא הנעלם עצמו עד כדי זה שחסר ה-1 שה-Q בחזקת N הזה מיותר, הוא לא מופיע כאן. את מה שכתוב פה בעצם נוכל לכתוב באופן הבא. 1 ועוד Q, כך עד ועוד Q בחזקת N פחות 1 ועוד Q בחזקת N. N פחות 1 אלא, שאני קצת שיקרתי, נכון ה-1 הזה לא באמת נמצא פה אז בואו נחסר אותו. פה כתובה כבר הזהות ומה שכתוב כאן זה ש-Q פעמים X שווה לאותו X שאנחנו רוצים לחשב ועוד Q בחזקת N פחות 1. זו כבר משוואה לינארית מאוד פשוטה עבור X ואם נבודד את X נקבל שהוא שווה, ה-X הזה, כן שהוא שווה ל-Q בחזקת N פחות 1 לחלק ל-q פחות 1. אני בהחלט מזמין את כולכם לוודא שמה שאני כתבתי נכון, שבודדתי נכון את x ה- x הזה, להזכירכם, הוא מה שכתוב כאן, ואם נציב את הערך שקיבלנו, נקבל שסכום n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית שווים לאיבר הראשון כפול הביטוי שכתוב כאן, כלומר סכום n האיברים הראשונים שווים ל-A כפול q בחזקת n פחות 1 חלקי q פחות 1, למשל דוגמא: אם נחזור לאותה דוגמא שפתחנו בה הסדרה ההנדסית 3, 6, 12, 24 וכולי, שבה האיבר הראשון שווה לשלוש ומנת הסדרה שווה לשתיים, ונשאל את עצמנו מה סכום מאה האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית הזאת הרי שנקבל שזה שלוש כפול שתיים בחזקת מאה פחות אחד לחלק לשתיים פחות אחד ושוב, שתיים פחות אחד זה אחד, כך שלמעשה זה שלוש פעמים שתיים בחזקת מאה פחות אחד. בואו נתבונן בדוגמא נוספת. הסדרה ההנדסית הקבועה: חמש, חמש, חמש. כן, גם זו סדרה הנדסית, היא עונה על הדרישה שהיחס בין שני איברים עוקבים הוא קבוע, במקרה הזה הוא אחד. אז זו סדרה שמתאימה לנתונים, איבר ראשון ששווה לחמש ומנת סדרה ששווה לאחת. מה אפשר לומר על סכום n האיברים הראשונים בסדרה זו? אז אם פשוט נציב בנוסחה, זה יהיה שווה לחמש כפול אחת בחזקת n פחות אחת לחלק לאחת פחות אחת. אבל אחת בחזקת n זה אחת. אז מה שקיבלנו זה שבר שגם המונה וגם המכנה הם אפס. כפי שאתם יודעים, הביטוי הזה אינו מוגדר, ולכן נראה ששגינו. האם הנוסחה הזו אינה נכונה? אז מלכתחילה היה צריך לחשוד מכיוון שיש פה מכנה שכ- q יהיה אחד, נהיה בבעיה. אז אולי צריך לחזור אחורה ולראות כיצד קיבלנו את הנוסחה הזאת, הגיעה מהחישוב שנמצא פה ואכן כש-q שווה 1, כשפיתחנו את הביטוי הזה, אנחנו חילקנו ב- q פחות אחד והיה צריך מלכתחילה להתנות את קבלת הביטוי הזה בכך ש- q שונה מאחד. כך ש... היה צריך כאן לדרוש מפורשות, הדבר הזה נכון אך ורק כש-q הוא איננו אחד. מה קורה כש- q שווה ל-1? מהו סכום n האיברים הראשונים בסדרה? אז התשובה היא מאד פשוטה. כש- q שווה 1 כל איברי הסדרה הם שווים ולכן סכום n האיברים הראשונים זה זה n פעמים האיבר הראשון, ששווה גם לאיבר השני, כן, הוא יהיה שווה לכל האיברים. אז צריך היה לומר שכש q שווה ל-1 סכום n האיברים הראשונים הוא פשוט n פעמים האיבר הראשון. זה עונה במלואו על השאלה מה סכום n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית לכל הערכים של q, גם כשהוא שונה מ-1 וגם כשהוא שווה ל-1. כעת אנחנו נתבונן יותר בפירוט בסדרות דועכות. ראינו דוגמא כזו בראשית השיעור. למשל בסדרה הבאה: אחת, חצי, רבע, שמינית... זאת סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא אחד ומנת הסדרה היא חצי. אז יש בידינו ביטוי מפורש לגבי כל איבר. האיבר ה- n, במקרה זה, שווה לאיבר הראשון כפול מנת הסדרה, חצי, בחזקת n פחות 1. זה האיבר הכללי בסדרה שכתובה כאן. ואנחנו רוצים לתאר את סכום n האיברים הראשונים בסדרה. אז אפשר כמובן להציב ישר בנוסחה, אבל בואו רגע ננסה לתאר בצורה טיפה שונה את סכום האיברים אחד ועוד חצי ועוד רבע ועוד שמינית ועוד אחד חלקי שש עשרה כך עד למקום מסוים, אם נדמיין את הסכימה הזו כצעידה על ישר המספרים הרי ש... סכום n האיברים הראשונים כש n שווה לאחד, זה פשוט האיבר הראשון, זה אחד, נתאר את זה כהליכה מאפס לאחד, כשאני מוסיף את האיבר השני, חצי, אני מגיע לאחד וחצי. אם נחשוב על זה כעל דרך שבה אני הולך מאפס לשתיים, הרי ששימו לב שבצעד הראשון גמעתי את מחצית המרחק בין אפס לשתיים. בצעד השני גמעתי את מחצית המרחק שנותר בין אחת לשתיים. בצעד הבא שאני אוסיף רבע אני שוב אגמע את מחצית המרחק שנותר בין הנקודה שהייתי בה לבין שתיים, ומתיאור זה אני מניח שקל להשתכנע שאני הולך ומתקרב בכל פעם שאני מוסיף עוד איבר בסדרה אל הערך שתיים, כל פעם אני מכסה את מחצית המרחק משתיים שנשארה, אבל אני לעולם לא מגיע אל הערך שתיים. אבל ככל שאני הולך ומוסיף איברים, ככל ש- n גדל, אני הולך ומתקרב לשתיים. הפער משתיים הולך ונעשה קטן יותר ויותר ודועך לאפס כש- n גדל לאינסוף. אני פה מתאר בשפה ציורית דברים שתלמדו באופן פורמלי בלימודים באוניברסיטה, את מושג הגבול, שגם מוזכר כמובן גם בהרצאות קודמות. אם נציב עכשיו את הנתונים A שווה לאחד, q שווה לחצי בביטוי הזה לסכום n האיברים הראשונים, נראה שבדוגמא זו סכום n האיברים הראשונים שווה לאחד כפול חצי בחזקת n פחות 1 לחלק לחצי פחות 1, אחרי אלגברה פשוטה ביותר, נגלה שהביטוי הזה שווה לשתיים כפול אחד פחות אחד חלקי שתיים בחזקת n. כש-n הוא מאד גדול שתיים בחזקת n הוא מספר עצום אחד חלקי שתיים בחזקת n הוא מספר חיובי מאד קטן מאד קרוב לאפס ולכן ש- n נעשה גדוול יותר ויותר, הביטוי שכתוב כאן, 1 פחות 1 חלקי 2 בחזקת n הולך ומתקרב לאחד' כך שסכום n האיברים הראשונים, ששווים לפעמיים הביטוי שכתוב כאן, הולך ומתקרב לשתיים, כפי שבאמת תיארנו פה בצורה ציורית. מה שמקובל לומר במקרה זה הוא שהגבול של סכום n האיברים הראשונים, כש-n הולך ושואף לאינסוף הוא שתיים. והסימון המתמטי שכאמור את ההגדרה המדויקת שלו תלמדו בלימודים אקדמיים באוניברסיטה. לסיום השיעור אני הייתי רוצה לקשור בין מה שראינו זה עתה לגבי מצב שבו אני מסכם אינסוף איברים בסדרה שהולכת ודועכת, אבל הסכום של אינסוף האיברים הזה הוא עצמו אינו הולך לאינסוף, אלא שואף לגבול סופי, למספר ממשי. אני רוצה לקשור בין לזה לבין משהו שאתם הכרתם למעשה כבר בבית ספר יסודי. בבית ספר יסודי כשלמדתם על ייצוג עשרוני של שברים, של מספרים בכלל, למדתם שהייצוג העשרוני של השבר שליש הוא אפס נקודה 333... וסדרת שלוש שלוש הספרות האלה נמשכת בלי סוף ואם אני לא טועה למדתם באיזשהו שלב לסמן זאת כך לבטא את העובדה שהספרה 3 חוזרת אין סוף פעמים בייצוג העשרוני. כיצד זה קשור למה שדיברנו עליו פה? נחשוב מה כתוב כאן הרי שהסיפרה הזאת מייצגת 3 עשריות הספרה הזו מייצגת 3 מאיות הספרה הזו מייצגת 3 אלפיות הסדרת המספרים 3 עשריות, 3 מאיות, 3 אלפיות וכן הלאה... 3 חלקי עשרת אלפים. הם איברים בסדרה הנדסית שבה היחס בין כל שני איברים עוקבים הוא עשרית. כל איבר קטן הוא עשירית מקודמו. אז אפשר לחשוב על מה שכתוב כאן כסכום N איברים ראשונים או ליתר דיוק סכום N איברים ראשונים כ-N שואף לאין סוף של סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא 3 עשיריות ומנת הסדרה היא עשירית בואו נבדוק מה קורה כשמציבים את הנתונים האלה בסכום N האיברים הראשונים בסדרה אז SN מייצג את המספר העשרוני 0.333 שבו אנחנו קוטנים את השבר העשרוני הזה אחרי N איברים. כלומר יש לנו רק N פעמים הספרה 3 במקרה זה, SN שווה לאיבר הראשון 3 עשיריות מוכפל במנת הסדרה שהיא עשירית בחזקת N פחות 1, לחלק למנת הסדרה עשירית פחות 1. בואו נפשט את הביטוי שכתבנו כאן SN שווה 3 עשיריות בואו נכפול את המונה והמכנה במינוס 1 נקבל 1 פחות 1 חלקי 10 בחזקת N במכנה נקבל 1 פחות עשירית, שזה 9 עשיריות וזה שווה לשליש פעמים 1 פחות עשירית בחזרת N גם פה כמו בדוגמה הקודמת כש-N נעשה מאוד, מאוד גדול, כש-N שואף לאין סוף 1 חלקי 10 ב-N שואף לאפס או 1 פחות הביטוי הזה שואף ל-1 וכך כש-N שואף לאין סוף הגבול ש-N שואף לאין סוף של SN שזה כאמור הביטוי של 0.333 כשה-3 האלה נמשכים לנצח. שבר שייצוגו הוא אין סוף ספרות אנחנו מקבלים שליש. אז ובכן זה הקשר בין ייצוג עשרוני אין סופי לבין שבה יש ספרה שחוזרת אין סוף פעמים לבין הסכום של אין סוף איברים בסדרה הנדסית בשעורי הבית כדי לוודא שבאמת הבנתם את הרעיון פה אני אבקש מכם להראות שדוגמה אחרת, שהמספר העשרוני שהייצוג שלו הוא 0.171717 וכך עד בלי די הוא הייצוג העשרוני של השבר 17 חלקי 99 ואני ארצה שתפעילו את אותם שיקולים קישור ל
