[MUSIQUE] Bonjour à toutes et à tous. Dans ce chapitre, nous allons continuer notre construction de la mécanique quantique et de son formalisme. Pour cela, nous ferons un usage intensif de la transformation de Fourier qui a été présentée dans le chapitre précédent. Pour commencer, rappelons quelques résultats que nous avons déjà établis en nous limitant au cas simple où on considère une seule dimension d'espace, que l'on appellera x. Nous avons vu que l'état d'une particule ponctuelle est décrit en mécanique quantique par une fonction d'onde Ψ(x, t). Cette grandeur complexe est une amplitude de probabilité et correspond donc à une description probabiliste des propriétés de la particule. Ainsi, la probabilité élémentaire dP de trouver la particule au point x, à l'instant t, est égale au module carré de la fonction d'onde multipliée par un élément de volume qui s'écrit simplement dx pour une seule dimension de l'espace. Le module carré de la fonction d'onde est donc une densité de probabilité. Considérons maintenant le cas d'une particule libre, c'est-à-dire une particule qui n'est soumise à aucune force ni à aucune mesure. Nous avons vu que l'évolution dans le temps de la fonction d'onde psi est gouvernée par l'équation de Schrödinger libre qui relie la dérivée première par rapport au temps de psi à sa dérivée seconde par rapport à x. Au facteur complexe i près, cette équation ressemble beaucoup à l'équation de la chaleur qui avait été étudiée par Fourier. Nous allons donc pouvoir utiliser la transformation de Fourier pour la résoudre de manière générale. Écrivons donc la fonction d'onde à un instant donné, psi de x et de t, en fonction de sa transformée de Fourier, phi de p et de t. Il s'agit exactement de la même expression que celle que nous avons introduite au chapitre précédent, mais avec une variable supplémentaire, le temps t, qui intervient ici comme un simple paramètre. Nous avons vu l'on peut alors exprimer phi de p et de t comme la transformée de Fourier directe de psi de x et de t, c'est-à-dire d'une intégrale, presque identique à la précédente, au signe près, apparaissant dans l'exponentielle. On dira ainsi que psi de x et de t et phi de p et de t sont transformées de Fourier l'une de l'autre. Comme nous l'avons vu, l'intérêt de travailler dans l'espace de Fourier est que les dérivées de la fonction d'onde s'y expriment très simplement. Par exemple, vous vous rappelez certainement comment s'exprime la dérivée seconde de psi par rapport à x dans l'espace de Fourier et vous pourrez facilement répondre à ce quiz. On voit donc, que dériver deux fois par rapport à x dans l'espace direct revient à multiplier par- (p 2) / (h barre 2) dans l'espace de Fourier. Considérons maintenant l'équation de Schrödinger de notre particule libre et transposons-la dans l'espace de Fourier. On voit alors agir la magie de la transformation de Fourier. L'équation différentielle du second ordre par rapport à x devient une simple équation algébrique en p. L'équation ainsi obtenue est une équation différentielle du premier ordre dans le temps, linéaire et à coefficient constant. Cette équation s'intègre immédiatement. On peut donc exprimer phi(p,t) comme le produit de la condition initiale, phi(p,0), par une exponentielle complexe dont l'argument dépend du temps. Ceci a une conséquence importante sur l'évolution du module carré de phi(p,t) et on vous demande d'y réfléchir dans le quiz suivant. Pour résumer, la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre est donc très simple. Partant de la condition initiale psi(x,0), nous calculons, par transformée de Fourier, la forme que prend cette condition initiale dans l'espace de Fourier. Puis nous multiplions cette fonction de p par l'exponentielle complexe représentant l'évolution au cours du temps, dans l'espace de Fourier. Enfin, une transformation de Fourier inverse, nous permet de revenir dans l'espace de départ et de déduire l'expression de psi(x,t) à tout instant t. Nous disposons ainsi d'une méthode générale de résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre, méthode que vous aurez l'occasion de mettre en pratique dans des exercices.