Dans cet exercice, nous allons calculer la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x, dans un premier temps, et dans un deuxième temps, nous allons profiter du calcul pour en déduire la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside. Pour la première partie, nous avons besoin d’un rappel sur la valeur principale de 1 sur x. Donc, ce rappel n'est pas la formule de la valeur principale mais sa propriété caractéristique, qui est que x multiplié par la valeur principale de 1 sur x est égal à 1. Donc, maintenant, nous allons prendre la transformée de Fourrier, à droite et à gauche, de cette égalité. Donc, d'abord la transformée de Fourrier de la fonction 1 est égale, d'après le cours, à 2 pi multiplié par la masse de Dirac en zéro. Ensuite, dans le cours, nous avons vu que la transformée de Fourrier échangeait la multiplication par rapport à x et la dérivation. En particulier, la transformée de Fourrier de la distribution x multiplié par la valeur principale de 1 sur x est égal à moins 1 sur i, la dérivée par rapport à ksi, de la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x. Nous en déduisons, que la dérivée, par rapport à ksi, de la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est égale à moins 2 pi, multiplié par i, multiplié par la masse de Dirac en zéro. Mais ceci, on sait bien que la masse de Dirac en zéro c'est la dérivée par rapport à ksi de la fonction de Heaviside. Donc, ceci est égal à la dérivée, par rapport à ksi, de moins 2 pi fois i, multiplié par la fonction de Heaviside, grand H de ksi. Donc, nous avons deux distributions, dont les dérivées par rapport à ksi sont égales, et nous savons que si la dérivée d'une distribution est égale à zéro, alors cette distribution est égale à une constante. C'est-à-dire que la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x, d'une part, et d'autre part, moins 2 i pi fois H, comme elles ont la même dérivée par rapport à ksi, ces 2 distributions ne diffèrent que d'une constante. Cela signifie que la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est égale à moins 2 pi, multiplié par i, multiplié par la fonction de Heaviside en ksi, plus une constante à déterminer. Donc, il nous reste à déterminer cette constante. Pour la trouver, nous allons utiliser les propriétés de parité. Donc, il est facile de voir que la valeur principale de 1 sur x est une distribution impaire, au sens suivant : valeur principale de 1 sur x, appliquée à une fonction test phi, composée avec moins l'identité, est égale à moins la valeur principale de 1 sur x, appliquée à phi. Nous avons déjà rencontré cette définition, dans un exercice précédent, et nous avons vu dans cet exercice que si une distribution était impaire, alors sa transformée de Fourrier était également impaire. Donc, ici, nous pouvons utiliser le fait que la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est également une distribution impaire. Comme cette distribution est la distribution associée à une fonction, la distribution est impaire, si et seulement si, la fonction est impaire. C'est-à-dire que moins 2, i, pi, multiplié par la fonction Heaviside, H plus la constante C, est une fonction impaire. Il n'y a bien sûr qu'une constante qui permet d'avoir une fonction impaire, c'est la constante grand C est égale à i fois pi. Donc, comme la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est impaire, on en déduit que la constante C est égale à i multiplié par pi. Ainsi, la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est égale à i, pi, multiplié par la fonction caractéristique de ksi négatif, moins i, pi, multiplié par la fonction caractéristique de ksi positif. Ça c'est une expression possible, l'autre expression possible c'est de dire que c’est moins 2 pi, fois i, multiplié par la fonction de Heaviside en ksi, plus i fois pi. Nous avons donc calculé la transformée de Fourrier de la distribution valeur principale de 1 sur x. On va en déduire maintenant la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside. La question petit b consiste à en déduire, de ce calcul de la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x, un calcul de la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside. Nous allons, pour cela, utiliser la transformée de Fourrier inverse, ou du moins la formule de la transformée de Fourrier de la transformée de Fourrier qui a été vue dans le cours. Donc, quand nous appliquons deux fois la transformée de Fourrier à une distribution, nous trouvons 2 pi, en dimension 1, multiplié par la distribution composée avec moins l'identité. Cette formule, une fois appliquée à la valeur principale de 1 sur x, nous donne que la transformée de Fourrier de la transformée de Fourrier de la distribution valeur principale de 1 sur x est égale à 2 pi, multiplié par la valeur principale de 1 sur x, composée avec moins l'identité. Mais comme, la valeur principale de 1 sur x est une distribution impaire, composée avec moins l'identité, nous trouvons moins la valeur principale de 1 sur x. Et donc, nous trouvons moins 2 pi, valeur principale de 1 sur x. Ceci nous donne un premier calcul de la transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x. De l'expression précédente, de la transformée de Fourrier de la valeur principale, que je rappelle, ici : transformée de Fourrier de la valeur principale de 1 sur x est égale à moins 2 pi, fois i, fonction de Heaviside en ksi, plus la constante i, pi, nous allons déduire, une deuxième expression pour la transformée de Fourrier, de la transformée de Fourrier de la distribution v p de 1 sur x. En identifiant ces deux expressions, nous trouverons la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside. Donc, je prends la transformée de Fourrier de la dernière identité. Nous trouvons transformée de Fourrier, transformée de Fourrier de v p, de 1 sur x, est égal à moins 2 pi, fois i, transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside, c'est ce que je cherche à déterminer, plus i, pi, fois la transformée de Fourrier de la fonction 1. Nous savons, d'après le cours, que la transformée de Fourrier de la fonction 1 est égale à 2 pi, multiplié par la distribution delta zéro, la masse de Dirac en zéro. En identifiant cette identité, et celle-ci, nous trouvons la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside. Voilà la formule obtenue : transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside est égale à moins i, valeur principale de 1 sur ksi, plus pi, masse de Dirac en ksi est égal à zéro. Nous avons donc bien calculé la transformée de Fourrier de la fonction de Heaviside.
