Donc au cours précédent, nous avons découvert la formule des sauts en dimension 1 d’espace et nous avons mis en place le matériel géométrique dont nous avons besoin pour énoncer la généralisation de cette formule en dimension supérieure. Nous allons le voir, cette formule des sauts a des applications importantes et multiples et nous en verrons un exemple à la physique mathématique, ou, si vous voulez, aux équations aux dérivées partielles intervenant dans certaines branches de la physique mathématique. Alors je vais commencer par une formule bien connue qui va contenir l’essentiel de la substance de la formule des sauts à laquelle on va se ramener très simplement pour écrire la formule des sauts en dimension plus grande que 1. Cette formule, c’est la formule dite de Green-Ostrogradsky, qui, en quelque sorte va jouer en dimension supérieure à 1, le rôle analogue à celui que joue la formule de l’intégration par partie en dimension 1. J’énonce la formule, donc, soit oméga ouvert à bord de classe C1 de R N, on se limitera ici à N égal 2 ou 3, et je note comme d’habitude petit n le champ unitaire normal sur la frontière d rond oméga dirigé vers l’extérieur de oméga Je rappelle qu’évidemment cette notion d’intérieur et d’extérieur de oméga a bien un sens dans le cas d’un ouvert à bord de classe C1 puisque il est localement situé d'un seul côté du bord de oméga. Soit V un champ de vecteurs sur oméga barre de classe C1, donc à valeur dans R N. Alors, eh bien, l'intégrale sur l'ouvert oméga de la divergence de V au point x d x est égale à l'intégrale sur le bord de oméga de V de x scalaire n de x, d sigma de x où d sigma est l'élément de longueur sur la courbe d rond oméga si on est en dimension 2, où l'élément d'aire sur la surface d rond oméga si on est en dimension 3, et où on rappelle que la divergence du champ de vecteurs grand V c'est tout simplement la somme pour K allant de un à N de d rond K de Vk de x, donc dérivée de la cayenne composante du vecteur V par rapport à la cayenne variable. En physique, on résume souvent cette formule de Green-Ostrogradsky en disant que le membre de droite c'est le flux du vecteur V à travers la surface d rond oméga, et le membre de gauche, c'est l'intégrale de la divergence de V dans le volume oméga. Alors, comment se souvenir de cette formule de Green-Ostrogradsky, et notamment comment se souvenir de l'orientation qu'il faut mettre sur le vecteur normal petit n, alors, pour ça, c'est une bonne idée de comparer cette formule avec la situation en dimension 1. Alors dans le cas où N égal 1, prenons un ouvert oméga qui est tout simplement un segment ouvert, un intervalle ouvert a, b, non-vide, avec a strictement plus petit que b, la frontière de l'ouvert oméga, c'est tout simplement la paire petit a petit b. Alors on peut pas vraiment dans ce cas-là parler de vecteur normal au bord de oméga, mais en tout cas on peut parler de direction vers l’extérieur de l’intervalle ouvert à b. Donc, ça suggère de poser un indice b égal plus un et un indice a égal moins 1, puisque au point petit b, l'intervalle a, b ouvert oméga est à gauche du bord, et au point petit a, au contraire, il est à droite du bord. Enfin, si je prends une fonction de classe C1 sur un voisinage du segment fermé a, b, que je la note V de x, il y a la divergence de V en dimension 1, ce n'est rien d'autre que la dérivée de V. Et par conséquent, la formule de Green-Ostrogradsky s'écrit somme de a à b de V prime de x, dx, qui est l'intégrale de la divergence de V sur l'ouvert oméga, est égale à V de b moins V de a, c'est la formule fondamentale de l'analyse, du calcul intégral en tout cas, et évidemment V de b moins V de a, on voit que ça s'écrit V de b fois n de B, plus V de a fois n de a. Donc on vérifie sur la formule intégrale de a à b de V prime de x, dx égal V de b moins V de a, formule bien connue, on vérifie que l'orientation du champ normal qu'il faut mettre pour que la fornule de Green-Ostrogradsky soit vérifiée, c'est bien celle qui consiste à orienter le champ normal vers l'éxterieur de oméga. Voilà le petit dessin où vous avez l'intervalle a, b, et au point a la direction moins 1, au point b la direction plus 1 qui pointe bien vers l'éxterieur de l'intervalle oméga. Alors voyons une autre expression de la formule de Green-Ostrogradsky qui est absolument équivalente à la précédente, notons e 1, e 2, e N, la base canonique de R N, ici je rappelle à nouveau que N égal 2 ou 3, et je vais prendre comme champ de vecteurs grand V, un champ de vecteurs dont la direction est constante, donc qui est de la forme V de x égal f de x, ei, où f est une fonction de classe C1 sur oméga barre. Donc si j'écris la formule de Green-Ostrogradsky pour ce champ de vecteurs particulier, ce que j'obtiens c'est que l'intégrale sur oméga de d rond i f de x qui est la divergence de V, est égale à l'intégrale sur le bord de oméga, de f de x, n i de x, d sigma de x, où n i de x est la i-enne composante du vecteur n de x. Revenons à cette notion de distribution de simple couche que j'avais évoquée dans le cours précédent, et je vais introduire une notation pour les distributions simple couche, notation dont je vais avoir besoin pour énoncer la formule des sauts. Donc soit gamma une courbe de R2 ou une surface de R3. Evidemment dans les deux cas, on suppose que gamma est de classe C1. On notera d sigma l'élément de longueur sur gamma si gamma est une courbe, ou l'élément d'aire sur gamma si gamma est une surface, la notion était définie au cours numéro 3. Maintenant, si on se donne une fonction g continue sur gamma, on va pouvoir définir une notion de distribution de simple couche sur gamma de densité g, distribution qui va être une distribution d'ordre zéro que l'on notera g sigma, et qui est définie par la formule g sigma appliqué à une fonction test phi, phi de classe C infini à support compact sur R N, N égal à 2 ou 3. Donc g sigma appliqué à phi sera l'intégrale sur gamma de g de x, phi de x, d sigma de x. Bien, maintenant avec le matériel que nous avons accumulé, nous pouvons maintenant énoncer la formule des sauts en dimension 2 ou 3. Alors soit donc oméga, ouvert à bord de classe C1 de R N avec N égal 2 ou 3. Je considère une fonction petit f qui est de classe C1 sur R N, privée du bord de oméga. Cette fonction de classe C1, je suppose en outre que sa réstriction à oméga se prolonge en un élément de C1 de oméga barre, c'est-à-dire de classe C1 au voisinage de oméga barre, tandis que la réstriction de f à l'ouvert R N moins oméga barre, se prolonge, elle, en un élément qui est de classe C1 sur le fermé R N moins oméga, c'est-à-dire de classe C1 sur un voisinage ouvert de R N moins oméga. Donc on peut considérer la distribution T f qui est définie par la fonction petit f qui est localement intégrable sur R N, on peut calculer sa dérivée au sens des distributions, et on peut comparer cette dérivée au sens des distributions à la distribution qui est définie par la fonction localement intégrable d rond f sur d rond x. Et, la formule des sauts dit que d rond i de T f est égal à T indice d rond i f, plus le saut de f à travers la surface ou la courbe d rond oméga que multiplie n i sigma. Alors, je rappelle que le saut de f à travers la surface ou la courbe oméga, qui est notée f entre crochets indice d rond oméga de x, c'est la limite pour T tendant vers zéro par valeurs positives, de f de x plus T fois n de x, moins f de x moins T fois n de x. Donc, on voit sur cette formule que la différence entre la dérivée au sens des distributions de la distribution T f et la distribution qui est définie par la fonction localement intégrable dérivée de f par raport à la i-enne variable, c'est la distribution de simples couches portées par le bord de oméga, et de densité, le saut de f à travers d rond oméga, fois n i, ième composante du champ normal, dirigé vers l'extérieur de oméga. Alors, voyons comment on démontre cette formule, et comme on va voir c'est une application de la formule de Green-Ostrogradsky. Donc, je vais noter f moins le prolongement de f restreint à oméga, à voisinage de oméga barre, et je vais noter f plus, le prolongement de f restreint à R N moins oméga barre, à un voisinage de R N moins oméga. Alors, en appliquant la formule de Green-Ostrogradsky, d'une part sur l'ouvert à bord oméga, eh bien je vois que l'intégrale sur oméga de d i, de f phi de x, dx, c'est égal à l'intégrale sur le bord de oméga, de f moins de x, phi de x, n i de x, d sigma de x. De la même manière, j'applique la formule de Green-Ostrogradsky à f dans le complémentaire de oméga barre, et je vois que l'intégrale sur R N moins oméga de d rond i de f phi de x, dx, est égal à moins l'intégrale sur le bord de oméga de f plus de x, phi de x, n i de x, d sigma de x. Alors, il faut faire un petit peu attention, dans cette deuxième formule, au changement de signe. En effet, le champ de vecteurs n, il est dirigé vers l'extérieur de oméga, donc il apparaît avec le signe plus dans la première égalité, mais il est dirigé vers l'intérieur de R N moins oméga barre, et donc, il apparaît avec un signe moins, dans la deuxième égalité, puisque dans la deuxième égalité, il s'agit d'écrire la formule de Green-Ostrogradsky, dans l'ouvert R N moins oméga barre. Donc, regroupons ces deux égalités, on a donc que moins la dérivée au sens des distributions, par rapport à ième variable de Tf appliqué à phi, plus T indice d i f, appliqué à phi. Par définition de la dérivée au sens des distributions, c'est égal à Tf appliqué à d rond phi sur d rond xi, plus T indice d rond f sur d rond xi, appliqué à phi, et, par définition, évidemment, c'est égal à l'intégrale sur R N de d rond sur d rond xi de f phi, en appliquant la formule de Leibniz, intégrale que l'on décompose sur oméga, et sur le complémentaire de oméga dans R N. Et puis, grâce aux égalités précédentes, qui découlent de la formule d'Ostrogradsky-Green, appliquée à oméga et à R N moins oméga, on trouve que cette somme est égale à l'intégrale sur d rond oméga de f moins de x, moins f plus de x, phi de x, n i de x, d sigma de x. Bon, alors maintenant, pour tout x sur le bord de oméga, f plus de x moins f moins de x, c'est bien égal à la limite, lorsqu'epsilon tend vers zéro par valeur positive, de f de x plus epsilon n de x, moins f de x moins epsilon n de x. En effet, lorsque epsilon est positif, x plus epsilon n de x, c'est un point qui est dans le complémentaire de oméga barre, tandis que x moins epsilon n de x est un point, qui est dans oméga, en tout cas pour epsilon assez petit. Et donc, cette différence, lorsque epsilon tend vers zéro par valeur positive, est égale au saut de f, à travers oméga, au point x, évidemment dans la direction n. Et, l'égalité ci-dessus signifie bien que moins la dérivée de la distribution Tf par rapport à la ième variable, plus la distribution associée à la fonction d rond i f, est égale à moins le saut de f, à travers d rond oméga, fois ni sigma, qui est la distribution de simple couche portée par le bord de oméga, et de densité, le saut de f à travers d rond oméga, fois n i. Bien, alors maintenant que nous avons la formule des sauts en dimension 1, 2 et 3, donnons-en une application, dans le cadre des équations aux dérivées partielles. Alors on rencontre très souvent, en physique mathématique, des systèmes d'équations aux dérivées partielles d'ordre 1 de la forme d rond U sur d rond t, plus d rond sur d rond x de F de U égal à zéro, où grand U est une fonction des deux variables t et x, définie pour t positif et x dans R, et grand F est une application de Rn dans Rn qui, elle, est de classe C infini. En revanche, la fonction grand U, comme c'est une solution d'une équation aux dérivées partielles, on ne sait pas, en général, quelle est sa régularité, il se peut très bien qu'elle ait des discontinuités, et c'est précisément la situation qui va nous intéresser. On a déjà recontré un exemple de cette situation, c'est celui de l'équation de Hopf, qui est une équation de transport non linéaire, que l'on peut mettre sous la forme ci-dessus, avec, donc, n égale 1 puisque, pour l'équation de Hopf, l'inconnue est une fonction à valeur réelle, et F de U, dans ce cas-là, sera égal à un demi de U carré. Mais, on peut également considérer des systèmes, et le plus connu, probablement, est celui dit d'Euler, pour la dynamique des gaz barotropes, où n égale 2, et où grand U, maintenant, est à valeur vectorielle, donc grand U est un vecteur dont la première composante rhô, c'est la densité du gaz, et la deuxième composante m, c'est la densité d'impulsion du gaz, et F de U est le vecteur dont la première composante est petit m, et la deuxième composante est m carré sur rhô, plus p de rhô où p, c'est l'équation d'état qui donne la pression, en fonction de la densité. Alors maintenant, on connait en mécanique des fluides, en tout cas en dynamique des gaz, mécanique des fluides compressibles, le phénomène des ondes de choc, et on dira que la solution U contient une onde de choc plane avançant à la vitesse s, c'est à dire une discontinuité de première espèce, matérialisée par la droite sigma indice t, inclue dans Rt croix Rx d'équation x égal st, et ce qu'on lit dans un traité de mécanique des fluides lorsque on a des solutions des équations de la mécanique des fluides avec des ondes de choc, c'est que, en dehors des ondes de choc, évidemment, on doit dire que la solution vérifie le système d'équations aux dérivées partielles, d rond U sur d rond t, plus d rond sur d rond x de F de U égal à zéro, au sens classique, au sens des fonctions de classe C 1, donc pour x différent de st, puisque, sur la droite x égale à st, il y a une discontinuité de première espèce, et d'autre part, il y a une condition de raccordement sur la surface de choc, ou sur l'onde de choc, qui, en mécanique des fluides, est connue sous le nom de relation de Rankine-Hugoniot, et qui consiste à dire que F de U plus, moins F de U moins, est égal à s, U plus, moins U moins. On a noté U plus, c'est U de t et de st plus zéro, donc c'est U juste à droite de la surface, ou de la courbe de choc, et U moins, de t et de s de t, c'est U de t et de s de t moins zéro, donc c'est U juste à gauche de la surface de choc. Donc, les relations de Rankine-Hugoniot, lorsqu'on a affaire à des systèmes, sont des relations entre vecteurs. F de U plus, moins F de U moins, c'est un vecteur à petit n composantes, il y a, évidemment, une seule composante dans le cas de l'équation de Hopf, mais, dans le cas du système de l'aire des gaz barotropes, c'est un vecteur à deux composantes, et s est un réel, qui est la vitesse du choc. Alors, j'ai représenté sur ce dessin, dans le plan avec les coordonnées x et t, alors x est ici l'abscisse et en ordonnée on a, à la fois petit t en noir, et la valeur de grand U en bleu. Donc j'ai représenté la droite d'équation x égal st, qui matérialise la surface de choc, et j'ai représenté, en bleu, donc l'ordonnée correspond aux valeurs de la fonction U, j'ai représenté le graphe de la fonction U de tx égale U moins, plus H de x, moins st, U plus moins U moins, où H c'est la fonction de Heaviside, qui vaut 1 sur R plus, et qui vaut zéro sur R moins étoile. Maintenant, on va donner une interprétation de la formule de Rankine Hugoniot, en utilisant la formule des sauts, au sens des distributions. En effet, calculons, au sens des distributions, d rond T de la distribution TU, plus d rond x de la distribution T indice F de U, distributions qui sont définies par les fonctions, composante par composante, définies par le champ de vecteur grand U, et par le champ de vecteur grand F de U. La formule des sauts nous dit que ces dérivées au sens des distributions sont égales à la distribution définie par la fonction d rond u sur d rond t plus d rond sur d rond x de F de U, là où elle est dérivable, c'est-à-dire en dehors de la surface de choc, plus 1 sur racine carrée de 1 plus s 2, le saut de F de U moins s U à travers la surface de choc Sigma fois petit sigma indice grand Sigma qui est une distribution de simple couche portée par la surface de choc Sigma, et ici, comme la surface de choc Sigma est matérialisée par la droite d'équation x égale s t, l'élément de longueur sur cette droite, c'est 1 plus s 2 d t, le paramètre étant, ici, le temps, de sorte que la distribution de simple couche portée par la droite sigma et de densité 1, qui est notée petit sigma indice grand Sigma, appliquée à phi, pour phi à support dans les temps positifs, est égale à l'intégrale de zéro à l'infini de phi de t s de t racine carrée de 1 plus s 2 d t, autrement dit, on voit bien que petit sigma est la distribution de simple couche de densité 1 concentrée sur la droite d'équation x égale s t, puisque l'élément de longueur sur cette droite, comme on vient de le dire, vaut bien d sigma indice grand Sigma de t égale racine carrée de 1 plus s 2 d t. Donc, dire que d rond t de T U plus d rond x de T F de U est égal à zéro au sens des distributions dans R plus étoile croix R, c'est la même chose que de dire que, d'une part, la distribution associée à la fonction d rond U sur d rond T plus d rond sur d rond x de F de U est égale à zéro, ce qui est la même chose que de dire qu'en dehors de la droite d'équation x égale s t, on vérifie d rond U sur d rond T plus d rond sur d rond x de F de U est égal à zéro au sens classique, et que sur la droite d'équation x égale s t, sur la surface de choc, on a la condition qui consiste à dire que le saut du vecteur F de U moins s de U à travers cette surface est égal à zéro, mais ça c'est précisément dire que F de U plus moins F de U moins est égal à s U plus moins U moins, de sorte que l'égalité, au sens des distributions, d rond T de T U plus d rond x de T F de U est égal à zéro contient à la fois l'équation aux dérivées partielles en dehors de la surface de choc et les relations de Rankine-Hugoniot sur la surface de choc. Autrement dit, ce que l'on lit dans les traités de mécanique des fluides, qui prescrivent de satisfaire l'équation aux dérivées partielles en de hors de la surface de choc et les relations de Rankine-Hugoniot sur la surface de choc, ce prinicpe-là s'écrit très simplement au sens des distributions en disant que l'on vérifie l'équation de départ au sens des distributions partout. Regardons le cas de l'équation de Hopf, qui est particulièrement simple, alors dans ce cas-là on a petit n égale 1, c'est une équation où l'inconnue est à valeur dans R et grand F de U vaut un demi de U carré. L'équation de Hopf s'écrit d rond U sur d rond t plus U d rond U sur d rond x égale zéro, mais U d rond U sur d rond x, on l'écrit d rond sur d rond x de un demi de U carré. La relation de Rankine-Hugoniot, pour un choc avançant à la vitesse constante petit s, est donc un demi de U plus au carré moins U moins au carré égale s U plus moins U moins, mais évidemment en divisant le membre de gauche et le membre de droite par U plus moins U moins supposés non nuls, on trouve que s égale un demi de U plus plus U moins. Autrement dit, dans le cas de l'équation de Hopf, la vitesse du choc est la moyenne arithmétique des valeurs de la solution en amont et en aval de l'onde de choc. Mais attention, ce principe-là ne vaut que pour la non-linéarité un demi de U 2, qui intervient dans l'équation de Hopf, et si on avait choisi une non-linéarité différente, par exemple si on avait choisi F de U égale un tiers de U au cube, on aurait trouvé une relation de Rankine-Hugoniot différente. C'est pourquoi lorsqu'on écrit ces relations de Rankine-Hugoniot, qui sont des relations de raccord sur des discontinuités de la solution de l'équation aux dérivées partielles que l'on considère, il est essentiel d'avoir bien compris le calcul au sens des distributions, et tout particulièrement la formule des sauts, pour formuler la condition de raccord exacte, la condition de raccord appropriée. Il n'y a pas de recette universelle pour trouver cette condition de raccord autre que de connaître le calcul au sens des distributions.
