Voilà. Alors maintenant, nous allons découvrir quelques exemples de solutions élémentaires pour les exemples fondamentaux d'opérateurs différentiels présentés ci-dessus. Premier opérateur, dans la liste que nous avons considérée, c'est le laplacien, et donc, je vais commencer par donner les formules, pour des solutions élémentaires du laplacien, dans R N, donc en dimension N, avec N égale 1, 2, ou 3. Alors, pour N égale 1, une solution élémentaire du laplacien sur R, qui n'est rien d'autre que l'opérateur de dérivée seconde, est donnée par la formule U 1 de x égale un demi de valeur absolue de x. C'est une formule qui est très simple à deviner, puisque lorsqu'on dérive une première fois valeur absolue de x, eh bien, on a la fonction qui vaut moins 1 pour x négatif, et plus 1 pour x positif. Une application directe de la formule des sauts nous dit que quand on dérive une seconde fois, on trouve deux fois la masse de Dirac en zéro avec le coefficient un demi. Ceci explique pourquoi la fonction U 1 de x, ainsi définie, est une solution élémentaire du laplacien, ou de la dérivée seconde, sur R. Alors, un petit peu plus compliqué: pour N égale 2, une solution élémentaire du laplacien sur R 2 est donnée par la formule, U 2 de x égale 1 sur 2 pi, logarithme de la norme euclidienne de x. Voilà, il n'y a pas de calcul qu'on puisse faire de tête, ou pas de calcul immédiat, montrant que cette formule est une solution élémentaire, pas plus d'ailleurs qu'en dimension 3, pour N égale 3, une solution élémentaire du laplacien sur R 3 est donnée par la formule U 3 de x égale 1 sur 4 pi, 1 sur norme de x. Alors, en physique, cette dernière formule, en dimension 3, 1 sur 1 pi, 1 sur norme de x, au coefficient près, correspond au potentiel coulombien, et c'est pas un hasard d'ailleurs, parce que l'opérateur laplacien intervient dans l'équation de Gauss de l'électrostatique, qui permet de déterminer le potentiel électrostatique créé par une densité de charge électrique. C'est la raison pour laquelle la fonction U 3 de x, qui est la solution élémentaire du laplacien, tendant vers zéro, à l'infini, c'est la raison pour laquelle cette fonction, qui est donc le potentiel coulombien, apparaît dans la théorie du laplacien sur R 3. Alors, dans tous les cas qui sont listés ici, on voit que U N est une fonction qui définit une distribution tempérée sur R N. On remarque d'ailleurs que, dans le cas N égale 3, la solution élémentaire U 3 converge vers zéro lorsque norme de x tend vers l'infini. Attention, ce n'est pas vrai en dimension 2 et en dimension 1, comme on le voit sur les formules. Alors, ces formules, donnant des solutions élémentaires du laplacien, on remarque que ces formules, en réalité, sont définies par des fonctions qui sont radiales, autrement dit, des fonctions qui ne dépendent que de la norme euclidienne du point x, du vecteur x. Alors, c'est assez logique que ça se passe comme ça, parce qu'en réalité, le laplacien, il est invariant, par les matrices orthogonales de R N. Autrement dit, si je prends f, une fonction de classe C 2 sur R N, eh bien, le laplacien de f composé avec R, R matrice orthogonale quelconque, c'est la même chose que le laplacien de f composé avec R. Cette formule, que j'écris dans le cadre des fonctions de classe C 2 sur R N, vaut encore pour les distributions bien sûr, à condition d'utiliser la notion de composition d'une distribution par une application, en l'espèce, linéaire bijective, par un isomorphisme linéaire, tel qu'une transformation orthogonale, par exemple. D'autre part, il se trouve que pour les fonctions radiales, eh bien on dispose d'un calcul explicite du laplacien qui est particulièrement simple, qui est la partie simple de l'expression du laplacien, en coordonnées sphériques. Eh bien, si je prends une fonction phi, qui est de classe C infini sur R plus étoile, alors je regarde simplement ce qui se passe sur R plus étoile pour éviter la singularité à l'origine de la fonction norme de x, la norme euclidienne. Donc, pour tout phi de classe C infini sur R plus étoile, eh bien laplacien de phi, de norme de x, c'est égal à phi seconde de norme de x, plus grand N moins 1, dimension moins 1 sur norme de x, phi prime de norme de x, pour x appartenant à R N, et x différent de zéro, x différent de l'origine. Alors avec ça, évidemment lorsqu'on recherche une solution élémentaire du laplacien, eh bien la première chose à faire, évidemment, c'est de chercher la solution élémentaire, de telle sorte que lorsque je calcule son laplacien, en dehors de zéro, je dois trouver zéro. Autrement dit, la solution élémentaire doit être telle que, c'est une distribution, et si je calcule son laplacien, si je restreins le laplacien de cette distribution au complémentaire de l'origine, qui est un ouvert de R N, je dois trouver la distribution nulle. Bien, donc, si on postule a priori, si on cherche cette solution élémentaire, comme donnée par une fonction radiale, eh bien, les formules que je vous ai présentées pour, donnant la solution élémentaire du laplacien en dimension 1, 2, ou 3, eh bien, on les trouve facilement, en utilisant ce calcul explicite du laplacien pour les fonctions radiales. On trouve évidemment le comportement, on trouve effectivement la formule donnant la solution élémentaire en dehors de l'origine. Il n'y a plus qu'à trouver ce qui se passe en l'origine, parce qu'il peut y avoir une composante concentrée en l'origine sur la solution élémentaire. Et là, il faut regarder plus en détail, par une méthode de troncature au voisinage de l'origine. Donc, vous avez déjà rencontré ce calcul dans un exercice sur le cas de la dimension 2, on y reviendra un petit peu plus tard en dimension 3. C'est une application de la formule des sauts qui permet de conclure. Bien, alors maintenant passons au cas de l'équation de la chaleur, l'opérateur de la chaleur. Alors, pour tout N supérieur ou égal à 1, il existe une unique solution élémentaire G N de l'opérateur de la chaleur d rond t moins un demi de laplacien en x, qui soit tempéré en tant que distribution sur Rt croix R N, et à support dans R plus croix R N. Alors, comme t est la variable de temps, le fait que cette solution élémentaire soit à support dans les temps positifs, quelquefois, on dit que la solution élémentaire est à support dans le futur, puisque t supérieur ou égal à zéro correspond au futur par rapport à la donnée initiale, qui est souvent prescrite à t égale zéro, t égale zéro étant pris comme l'origine des temps. Alors, cette solution élémentaire, elle est donnée par la formule suivante: G N de t et de x égale indicatrice de t strictement positif, divisée par 2 pi t à la puissance N sur 2, multipliée par exponentielle de moins norme de x au carré, divisée par deux t. On reconnaît ici, à part le facteur correspondant à la fonction indicatrice de t positif, on reconnaît sur cette formule, que G N, c'est la densité gaussienne centrée en zéro, et comme on dit réduite, c'est-à-dire de matrice de covariance t fois l'identité. Alors la partie unicité du théorème quatre sur la solution élémentaire, l'opérateur de la chaleur, en réalité cette partie unicité, c'est un théorème d'unicité pour l'équation de la chaleur elle-même, et elle découle du lemme suivant, lemme d'unicité. Alors j'énonce le lemme, et on va voir qu'il y a un commentaire important qui y est attaché. Donc, soit f, distribution tempérée sur Rt croix R N, en x. Donc, si je suppose que cette distribution tempérée vérifie d'une part, d rond t moins un demi de laplacien en x de f égale zéro, et d'autre part, que f est à support dans le futur, à savoir que, support de f est inclus dans R plus croix R N, eh bien forcément f est la distribution nulle. Autrement dit, une distribution tempérée qui annule l'opérateur de la chaleur, et qui est à support dans le futur, forcément cette distribution est nulle. Alors évidemment, ce lemme d'unicité donne tout de suite l'unicité de la solution élémentaire de l'opérateur de la chaleur, dans la classe des distributions tempérées. Mais attention, ce lemme utilise la transformation de Fourier, et donc, il ne va donner l'unicité que dans la classe des distributions tempérées. Et d'ailleurs, on ne peut pas espérer avoir l'unicité dans une classe beaucoup plus générale parce qu'il existe, en effet, on peut construire en effet une fonction u de classe C 2 sur R 2, donc l'équation de la chaleur en dimension 1 d'espace, de classe C 2 sur R t croix R x, qui est identiquement nulle sur R moins croix R et qui est solution de l'équation de la chaleur. Mais évidemment la croissance à l'infini de cette fonction est beaucoup trop forte pour qu'elle puisse définir une distribution tempérée. Évidemment, comme c'est une fonction de classe C 2, elle définit une distribution, pas tempérée, mais une distribution. Et donc, du coup, l'unicité pour l'équation de la chaleur ne vaut pas dans la classe des distributions quelconques. Venons-en maintenant au cas de l'opérateur de Schrödinger. Alors, l'opérateur de Schrödinger i d rond t plus un demi de laplacien en x admet une unique solution élémentaire, à nouveau, alors celle-là on va la noter Gamma N, une solution élémentaire qui est tempérée sur R t croix R Nx, à support dans le futur, donc à support dans t positif, à support dans R plus croix R N. Cette solution élémentaire, puisque c'est une distribution tempérée, en fait elle est parfaitement définie si je donne sa transformation de Fourier partielle en x. Donc, transformée de Fourier partielle en x de Gamma N, que je vais noter Gamma N chapeau, donc de t et de ksi, ksi étant la variable de Fourier de x, Gamma chapeau N de t et de ksi sera donnée par la formule indicatrice que t est strictement positif exponentielle de moins un demi de i t norme de ksi au carré. Alors, évidemment, donner la transformée de Fourier partielle en x de Gamma N définit Gamma N de manière unique, puisque la transformation de Fourier partielle en x est un isomorphisme sur la classe des distributions tempérées. Alors voyons, quand même, ce qu'on peut dire dans l'espace physique, parce qu'après tout, l'opérateur de Schrödinger ressemble formellement beaucoup à l'opérateur de la chaleur, puisqu'on a l'impression qu'il suffit de changer le temps, la variable de temps, en i fois la variable de temps. Évidemment, changer le temps en un temps imaginaire, ça n'a pas beaucoup de sens mathématiquement, néanmoins on peut peut-être espérer qu'il y a, pour la solution élémentaire de l'opérateur de Schrödinger une formule quelque peu analogue à celle de l'équation de la chaleur, qui met en jeu des gaussiennes. Alors, ce qui se passe, c'est que Gamma N de t et de x, on peut dire que c'est donné par la formule indicatrice que t est positif divisé par racine de 2 pi t à la puissance N exponentielle de norme de x au carré divisé par 2 i t. Il faut faire un tout petit peu attention à ce que l'on entend par racine de 2 pi i t. Il faut entendre par là la détermination principale de la racine dans C privée de la demi-droite réelle négative. Mais en réalité, si on voit cette expression simplement comme une fonction, il n'est pas évident que cela définisse une distribution tempérée. Ce qui se passe, véritablement, c'est qu'en fait cette fonction doit être comprise comme la distribution limite lorsque epsilon tend vers zéro par valeur positive de la même expression, mais où j'ai remplacé i par i plus epsilon. Alors, en quelque sorte, on a ici une fonction, donc la gaussienne complexe, où j'ai remplacé t par i fois t. On a une fonction, et cette fonction est à comprendre comme la limite dans S prime d'une suite de fonctions, qui elles, définissent bien des distributions tempérées, puisque, comme epsilon est positif, alors l'expression dépendant de epsilon avec epsilon positif, est à décroissance gaussienne pour tout temps positif lorsque x tend vers l'infini. Autrement dit, ce qui se passe ici, c'est que la distribution que l'on note comme étant égale à la fonction gaussienne à temps complexe, en réalité doit se comprendre comme une sorte de valeur principale, puisqu'il y a un procédé de limite lorsque espilon tend vers zéro au sens des distributions, ici même au sens des distributions tempérées. En quelque sorte, donc, cette fonction Gamma N doit se comprendre comme une distribution valeur principale de la même manière que la fonction 1 sur x, on peut la comprendre au sens des distributions, elle ne définit pas, on l'a vu, de distribution de manière classique comme si c'était une fonction localement intégrable, mais elle définit une distribution par le procédé de valeur principale, qui consiste à tronquer ce qui se passe près de zéro et à passer à la limite. Ici on a un procédé qui est tout à fait analogue à ça, et donc cette distribution, qui est la solution élémentaire de l'équation de Schrödinger tempérée, doit se comprendre comme une valeur principale, puisqu'il y a ce procédé de limite lorsque espsilon tend vers zéro par valeur positive. Limite, évidemment, au sens des distributions tempérées sur R croix R N. Passons maintenant au cas d'Alembertien de l'opérateur des ondes. Alors, la solution élémentaire du d'Alembertien, en toute généralité, c'est une distribution vraiment compliquée, donc on va regarder ce qui se passe dans les dimensions N égal à 1, 2 ou 3, dimensions d'espace 1, 2 ou 3, qui sont des dimensions intéressantes pour la plupart des applications physiques. Quoi qu'il en soit, pour tout N égale 1, 2 ou 3, il existe une unique distribution tempérée, je vais noter E indice N, appartenant à S prime de R croix R N, qui est à support dans le futur, donc la distribution E N est incluse dans R plus croix R N, et d'Alembertien de E N égale masse de Dirac en x égale zéro et t égale zéro. Je rappelle ici que d'Alembertien est égal à d rond t carré moins laplacien en x. Alors, regardons les formules pour les différentes dimensions, les formules explicites, alors c'est des formules dans l'espace physique, dans la variable x, et non pas en variable de Fourier. Alors en dimension grand N égale 1, la formule donnant la solution élémentaire remonte à la résolution de l'équation des ondes par d'Alembert à la fin du dix-huitième siècle, et cette formule consiste à dire que, pour N égale 1, E 1 de t et de x est égal à un demi de l'indicatrice que t est strictement positif que multiplie l'indicatrice que x appartient à l'intervalle ouvert moins t, t. C'est la formule standard que l'on trouve lorsqu'on résout l'équation des ondes en dimension 1, c'est-à-dire l'équation des cordes vibrantes, et historiquement, c'est la raison pour laquelle d'Alembert s'était intéressé à cette équation aux dérivées partielles. Alors, en dimension N égale 2, formule un petit peu plus compliquée, qui est due à Poisson, qui a un intérêt pour les vibrations des plaques élastiques, et donc la formule, en dimension 2, c'est E 2 de t et de x égale indicatrice que t est positif divisé par 2 pi indicatrice que x appartient à la boule de centre zéro et de rayon t, divisé par racine carrée de t 2 moins norme de x au carré. Enfin, en dimension 3, on trouve la formule de Kirchhoff, qui donne la solution élémentaire du d'Alembertien en dimension N égal à 3, qui est E 3 de t et de x égale indicatrice que t est strictement positif divisé par 4 pi t fois sigma t, où sigma t est la distribution de simple couche de densité 1 sur la sphère de centre zéro et de rayon t de R 3. Je rappelle ce que veut dire cette périphrase. Ce que ça veut dire, c'est que si je prends une fonction test phi, une fonction de classe C infini à support compact sur R 3, sigma t appliqué à phi, c'est tout simplement t carré fois l'intégrale sur la sphère unité, ce coup-ci, de R 3, de phi de t oméga d S de oméga, où d S est l'élément de surface sur la sphère unité de R 3.
